帶電粒子在勻強磁場中運動的兩類“放縮圓”問題

陳小慶

【摘要】高考中，“帶電粒子在勻強磁場中的運動”往往是學生比較害怕的問題，其中有一類很常見的題目，很多資料上命名為“放縮圓”問題.本文總結了學生比較容易接受的標準解題步驟，并且把“放縮圓”問題細分成兩類，在做題的時候要認真區分，否則很容易出錯。

【關鍵詞】帶電粒子;勻強磁場中的運動;放縮圓

帶電粒子在勻強磁場中的運動，這一節的知識在高考中既是重點，也是難點，對學生的物理和數學能力都有較高的要求，往往學生面對這一節的題目會產生畏懼心理。其中有一類比較常見的題目，很多資料上命名為“放縮圓”，或者“膨脹圓”問題。

一、什么是“放縮圓”問題？

我們先來看一個例題1：如圖，寬度為d，足夠長的帶狀區域內有垂直于直面向內的勻強磁場，帶電量+q，質量m的粒子以垂直于左邊界的速度進入磁場，磁感強度大小為B，不計粒子重力，則粒子速度大小滿足什么條件時，能夠從右邊界穿出？

分析：粒子進磁場后，受到向上的洛倫茲力，若速度比較小，則圓周運動的半徑也比較小，由于初速度與左邊界垂直，所以粒子在磁場中劃出一個半圓后，從左邊界穿出。若初速度大一點，則圓周半徑也大一點，于是可以畫出一系列的圓弧，容易看出，當圓周半徑大到一定程度時，粒子才能從右邊界穿出。圖中有一個半圓用加粗線表示，這是粒子從左邊界穿出和從右邊界穿出的一個臨界值。這個臨界圓的半徑等于磁場兩邊界間距d，對應粒子速度大小為，所以當粒子速度大于這個值的時候，粒子就會從右邊界穿出。

從這個例題可以總結出所謂“放縮圓”問題：帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，磁場保持不變，粒子速度方向不變而速度大小改變，導致粒子軌跡圓弧半徑隨之而改變。

二、“放縮圓”問題的特點

這類問題有著幾個共同特點：

①由于粒子初速度方向不變，所有放縮圓的圓心都在同一條直線上，這條直線與初速度垂直。

②粒子運動的圓軌跡半徑R=，所以半徑與粒子初速度大小成正比，也就是說初速度越大，軌跡半徑越大。

③粒子運動的周期T=，與粒子速度無關，所以粒子在磁場中運動的時間t只取決于軌跡對應的圓周角。

三、求解“放縮圓”問題的基本步驟

第一步，用左手定則畫出粒子進磁場時所受洛倫茲力的方向，所有放縮圓的圓心都在該力的方向上，不至于搞錯圓心位置，以及粒子偏轉方向。第二步，畫出一系列半徑不同的圓.第三步，找出符合題目條件的臨界圓。第四步，找幾何關系，列出方程，求解。

例題2：如圖，一足夠長的矩形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場，在ad邊中點，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad邊夾角θ= 30°、大小為v0的帶正電粒子，已知粒子質量為m，電量為+q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力不計，求：粒子能從ab邊上射出磁場的速度v0大小范圍。

分析：先畫出洛倫茲力方向，再畫一系列圓，很容易確定出兩個臨界圓（左上圖實線圓），分別與上邊界和下邊界相切.這些都是畫在草稿紙上的，而只在試卷上留下兩個臨界圓（如由上圖）。由幾何關系列方程：600，600

得到，

結合得到兩個臨界速度大小為，

所以滿足條件的粒子速度為。

四、放縮圓的時間

粒子在磁場中運動的時間t= T，其中θ指的是粒子在磁場中運動的軌跡圓弧對應的圓心角，T是粒子做圓周運動的周期，由于放縮圓的周期都一樣，所以粒子在磁場中運動的時間僅僅取決于圓心角。

再回到剛才的例題2，增加一個問題：如果粒子從不同邊界飛出，則粒子在磁場中運動的時間分別在什么范圍內？

粒子可能從左邊界，上邊界，或者下邊界穿出。如果從左邊界穿出，則圓心角都相同，都是300°，則時間是個定值：T;如果從上邊界穿出，則圓心角介于150°到240°之間，則時間介于T到T之間;如果從下邊界穿出，則圓心角小于60°，時間小于T。

五、另一類放縮圓問題

如果粒子速度v0不變，僅改變磁感強度的大小，這種情況造成的粒子圓半徑變化稱為第二類放縮圓問題.這種放縮圓問題有兩個特點：

①軌跡圓半徑R與磁感強度大小成反比，磁感強度變小時，軌跡圓隨之而膨脹。

②由于磁感強度發生了變化，導致粒子圓周運動的周期也隨之而改變，所以粒子在磁場中運動的時間不僅僅取決于圓心角，還取決于周期。

平時常見的放縮圓問題都是由于粒子初速度大小改變而引起的半徑變化，也有少數時候磁場變化引起半徑變化，一般學生都沒有注意到兩者是有區別的。這兩類放縮圓問題如果只是涉及到粒子的軌跡，那么做題步驟沒有什么區別，但如果涉及到粒子在磁場中運動的時間，就要非常小心了，因為磁場變化不僅僅導致圓半徑變化，也會導致粒子周期改變。

其實做第二類放縮圓問題的時候，周期用另一個公式會更方便：T=，由于粒子的速度大小不變，所以粒子的周期正比于圓半徑。另外，粒子在磁場中運動的時間t=，其中l是粒子在磁場中運動的軌跡弧長，用這樣兩個公式做第二類放縮圓的問題，更加直觀和方便。

再回到剛才的例題2，假如題目改為粒子的速度大小v不變，而磁感強度大小發生變化而導致放縮，那么從左邊界穿出的粒子，在磁場中運動的時間是個定值，還是個范圍呢？

在這種情況下，從左邊界飛出的粒子，雖然它們在磁場中運動的圓心角都一樣，但是周期卻都不同了，那么時間就不再是個定值，而是個范圍。由于粒子的速度大小不變，所以時間正比于粒子在磁場中運動的軌跡弧長，很容易看出，最長的弧就是與上邊界相切的，上面已經求出這種情況下的半徑R=，所以從左邊界飛出的粒子，時間小于。

總結一下，帶電粒子在勻強磁場中的運動，一直都是高中物理的一個重點和難點問題，本文分析了常見的一種情況。有不少資料上分析過放縮圓問題，但基本上都是講粒子速度大小改變而導致的圓半徑改變，很少有講到磁場變化引起的放縮，這兩種情況在計算粒子軌跡的時候方法類似，但涉及到粒子在磁場中運動時間的時候，就一定要非常小心了。

參考文獻：

[1]嚴江勇，盧巧玲.利用動態圓巧解帶電粒子在有界勻強磁場中運動的極值問題[J].中學物理教學參考，2010（3）：32-34.

[2]明翔宇.巧用幾何畫板動態分析磁場“縮放圓”和“旋轉圓”問題[J].物理教學探討：中學教學教研版，2017（35）：54.

[3]奚發建.淺談如何利用動態圓來處理帶電粒子在電磁場中的運動問題[J].新課程（中學），2017（4）.