山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村

佘海艷

2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)卷整體設(shè)計(jì)靈活，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在試題排列順序上，依然是由易到難，循序漸進(jìn)，但是主觀題的難易程度和順序也做出了一定的調(diào)整，打破了過去將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為壓軸題的慣例，最后一個(gè)選做題也著重考查了消元的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)運(yùn)算，這樣有助于考查考生靈活應(yīng)變的能力，有助于學(xué)生在全面掌握和學(xué)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)的前提下，綜合考查應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)思維方法，特別注重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)應(yīng)用的學(xué)科素養(yǎng)。本套試卷設(shè)置的情境真實(shí)，貼近生活，而且有深厚的文化底蘊(yùn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的方法和思想在解決問題中的價(jià)值和作用，促進(jìn)了對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育和全面發(fā)展的要求。考完就有學(xué)生討論極坐標(biāo)與參數(shù)方程的計(jì)算問題，下面就第22題選做題談?wù)劰P者的幾種做法和思考。

22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程

為（t為參數(shù)）。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，將軸正半軸作為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程為。

（1）求和的直角坐標(biāo)方程;（2）求上的點(diǎn)到距離的最小值。

試題分析：本題注重考查對(duì)曲線的參數(shù)方程的理解和轉(zhuǎn)化，看到已知條件學(xué)生不能很快計(jì)算出來，原因是對(duì)消元和方程的思想理解不到位，感覺無從下手，導(dǎo)致失分。我們可以通過參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到圓錐曲線的結(jié)構(gòu)都有平方，則想到兩邊平方消元，或者通過類比三角函數(shù)的萬能公式想到三角消元，先觀察式子變形，說不定就會(huì)有柳暗花明，眼前一亮的靈感。

解法一：平方消元法

解：（1）因?yàn)椋鹊玫降姆秶?，且，所以C的直角坐標(biāo)方程為.的直角坐標(biāo)方程為.

解法二：分離常數(shù)，代入消元法

解：（1）觀察兩個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特征，分母相同，可以先將分離常數(shù)，再兩式相除得到，代入消元如下：，

將代入?yún)?shù)方程，化簡(jiǎn)可得

解法三：分離常數(shù)，平方消元法

解：同解法二，可得觀察的形式，可以變形為兩邊平方，化簡(jiǎn)可得

拓展延伸：由完全平方公式可以聯(lián)想到為常數(shù)，所以將式變形為，再將得，這兩式平方作差，化簡(jiǎn)可得

解法四：三角消元法

解：通過觀察參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分子與分母都有平方，類比圓錐曲線的萬能公式，可以進(jìn)行弦化切，用三角消元法，可以設(shè)，并由萬能公式可得，，則由三角換元可得，所以C的直角坐標(biāo)方程為。

反思總結(jié)：對(duì)于參數(shù)方程的消元法，其實(shí)在選修4-4教材第25頁例3和例4方程的互化中就有要求，因此在實(shí)踐教學(xué)中，我們應(yīng)該回歸教材，引導(dǎo)學(xué)生理解消元的原理并掌握數(shù)學(xué)思想方法，例如：求參數(shù)方程為（t為參數(shù)）的曲線C的普通方程。消元法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要思維方法，在本節(jié)課后習(xí)題4，也主要強(qiáng)化訓(xùn)練了消元的思想，進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化，特別要注意變量的取值范圍，這也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。本題解析如下：解：∵參數(shù)方程為（t為參數(shù)），∴，代入第二個(gè)等式，得y=1-2（x-1）=-2x+3，（）即，（）。

以此類推，求雙曲線和拋物線的參數(shù)方程也可以通過消元法得到普通方程，那么能否得到一種通用的參數(shù)方程表示圓錐曲線呢？如果能讓學(xué)生總結(jié)一些通法，對(duì)于學(xué)生的理解和知識(shí)遷移有很大幫助，能更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

接下來看第（2）問，由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，-π-π）。

C上的點(diǎn)到的距離為。當(dāng)時(shí)，取得最小值7，故C上的點(diǎn)到距離的最小值為。

試題分析：第（2）問主要考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，可以借助草圖先形成大概印象，再用解析幾何的方法表示成三角函數(shù)，很快求出距離、弦長(zhǎng)或面積的最值。在近幾年的高考題中除了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值還考查用極坐標(biāo)方程，求得曲線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，由極徑的概念將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題，也是這種問題的變式，具體以一個(gè)高考題為例。

變式 （2015高考新課標(biāo)Ⅱ） 在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，曲線.

（Ⅰ）.求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo);

（Ⅱ）.若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值。

解：（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中。因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為。所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為4。

反思總結(jié)：主要考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)化化歸的思想求三角函數(shù)的最值。先將曲線與的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，第2問分別聯(lián)立與和與的極坐標(biāo)方程，可以求得，的極坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間舉例公式將表示，從而可以把距離問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題處理，近幾年的高考試題很重視對(duì)極坐標(biāo)和極徑概念的理解，建議復(fù)習(xí)時(shí)要避免把所有的已知條件都化為直角坐標(biāo)，學(xué)生也很容易忽略變量范圍。這道選做題也給我們教師教學(xué)提供了參考和啟示，平時(shí)課堂教學(xué)要回歸教材，掌握通性通法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，解決問題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧和能力，將不熟悉的形式靈活轉(zhuǎn)換為熟悉的結(jié)構(gòu)形式，從而能很好地應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問題。