數學建模核心素養滲透下的《正態分布》教學設計

夏靜

數學建模核心素養的培養除了以數學建模活動與數學探究活動的主題進行系統化的培養之外，在平時的課程中數學建模的滲透也是發展數學建模數學核心素養的行之有效的方法。本文將以“正態分布”教學設計中正態分布概念的提出一部分為例，以建構主義理論知識作為指導，結合數學建模的思想方法，將現實問題數學化，在數學建模滲透完成對正態分布概念的學習。

正態分布在生產和生活中是廣泛存在和應用的，比如某班級學生的成績、身高、體重等一般都滿足正態分布。因此選擇生活中的服從正態分布的實例作為本堂課的引入，既有利于培養學生數學的應用意識，又讓學生體會到數學是來源于生活，應用于生活。

人教A版是通過高爾頓釘板實驗進行引入，許多教師也就是參照教材上的引入，在網絡上找到高爾頓釘板實驗的相關視頻，雖然采用了視頻的方式來激發學生的學習興趣，然而學生對于高爾頓釘釘板實驗也是一知半解，難以達到預期的效果。對于高爾頓釘板實驗的設計是十分巧妙的，但脫離了實際生活作為現實意義的載體，不能充分體現正態分布在生產和生活中的廣泛存在和應用，也難以體現正態分布的應用價值，因此筆者沒有沿用教材上的高爾頓釘板實驗，而從學生習以為常的滿足正態分布的生活實例出發，在起到激發學生學習興趣的同時，又讓學生感受到數學的應用價值。筆者此處采用了學生熟悉的上學交通工具的選擇情景作為引入，通過數學建模解決問題的過程讓學生認識正態分布。

（1）問題的發現，提出問題

問題：每天上學的時候總是感覺時間很緊張，公交車、單車是學生上學放學常見的兩種交通工具，選擇哪一種使得上學更不容易遲到？

學生憑借各自的生活經驗可能會有不同的答案，只憑借經驗做出的判斷不一定是可靠的，因此教師引導學生從數學的角度思考如何解決這個問題。

（2）問題的探究，求解問題

問題1：運用統計的思維，如何從數學的角度解決交通工具選擇問題？

通過對收集到的數據進行分析，從數據分析的角度解決交通工具選擇問題，不妨就選擇其中一位甲同學收集到的數據進行分析。（如表1、表2）

問題2：有一天，甲同學只有32分鐘就要上課了，選擇哪一種交通工具更不容易遲到？

在具體的問題情境下分析數據，學生很容易想到通過平均值進行分析，教師肯定平均值是一種分析方法，并引導學生還可以通過頻率分布直方圖來分析數據。（如圖2）學生經歷繪制頻率分布直方圖的過程，對頻率分布直方圖相關知識起著回顧作用。

問題3：根據頻率分布直方圖選出上學最不容易遲到的交通方式？

通過繪制頻率分布直方圖的過程，對數據進行處理，學生都能夠選擇出公交車，但大多數同學都不是從概率角度分析頻率分布直方圖得出的結論。教師引導學生回顧頻率分布直方圖小矩形面積表示的概率含義，從具體問題中的32分鐘作為切入點，在時間不超過32分鐘的時候，觀察得到公交車小矩形面積大于單車小矩形面積，也就是乘坐公交車不遲到的概率大于騎單車不遲到的概率，因此得出選擇公交車的結論。由此，在頻率分布直方圖的已有知識基礎上解決了交通工具的選擇問題。

（3）問題的深入探究，完善模型

問題4：由這樣30個數據得出的結論可不可靠？怎樣使得結論更加可靠？

在上一個過程中，已經初步解決了交通工具的選擇問題。在必修三用樣本估計總體內容的學習中，學生已經知道樣本容量越大越能反映總體的情況，由此學生大多都能得出增加樣本數據能夠提高結論的可靠度的結論。

通過將與甲同學住在同一小區的其他幾個同學收集的數據也納入分析，展示樣本容量不斷增加時候的頻率分布直方圖。（如圖3）引導學生從頻率分布直方圖的形狀和頻率分布折線圖的光滑度這兩方面進行分析，學生通過觀察由公交車的數據繪制的幾個頻率分布直方圖，可以總結出中間高兩邊低的形狀特點。但是對于頻率分布折線圖隨著樣本容量不斷增加而更加光滑的結論學生不易自主觀察出，教師引導學生觀察隨著樣本容量不斷增加，頻率分布折線圖折痕越來越多，但是折痕越來越不明顯，從這個角度來說明頻率分布折線圖隨著樣本容量的不斷增加越來越光滑的趨勢，最終近似為一條光滑的曲線。（如圖4）由此在沒有極限思想作為支撐的條件下，學生也是能夠理解的。這條曲線也并不是完全陌生的，實際上就是以前學習過的總體密度曲線。在觀察得出公交車的數據繪制的頻率分布直方圖、折線圖的特點后，學生能夠類比觀察出由單車數據制的頻率分布直方圖、折線圖在形狀和光滑度方面也相同的特點，再次加深了對正態曲線形成過程的體會。

通過介紹數學家高斯，結合德國鈔票上的正態密度函數的表達式給出正態密度函數，既避免了教材上直接給出正態密度函數表達式導致的學生難以接受的問題，又借此布置相關的正態分布發展史的閱讀作業，豐富了數學文化知識。（如圖5）

（4）問題的深入解決，體會正態曲線的產生過程

問題5：增加樣本容量之后，乘坐公交車和騎單車不遲到的具體概率？

教師引導學生從正態曲線的產生出發，逐步引導學生得出正態曲線與橫坐標軸圍成的區域面積表示概率，于是乘坐公交車和騎單車上學不遲到的概率就是時間在區間（0，32]與正態曲線圍成區域的面積。通過對比公交車和單車的正態曲線與橫坐標在（0，32]內圍成的面積大小，在增加樣本容量的情況下，得出仍然選擇公交車上學更不容易遲到的結論。

乘坐公交車和騎單車不遲到的具體概率就是時間在區間（0，32]與正態曲線圍成區域的面積。通過老師的引導，學生基本上能夠想到用定積分求出時間在區間（0，32]與正態曲線圍成區域的面積，即乘坐公交車不遲到的概率，同理也能求出騎單車不遲到的概率。特殊的時間區間（0，32]上的概率學生會求解，對于任意時間區間（a，b]上的概率學生也能快速得出，充分認識到正態曲線的幾何意義。

通過增加樣本容量對交通工具選擇問題進行深入探究，學生體會了正態曲線的產生過程，對正態分布也有一定的認識，于是在此基礎上提出正態分布的定義。

（5）抽象概括，獲得新知——正態分布定義的提出

一般地，如果對于任何實數，隨機變量X滿足

則稱隨機變量X服從正態分布。如果隨機變量X服從正態分布，則記為（）。

正因為正態分布在日常生產、生活中的廣泛存在和應用，而數學建模又是基于現實問題進行數學抽象，從而能夠用數學語言表達現實問題、進而用數學方法構造模型來解決問題，充分考慮到學生的“最近發展區”，從已有的通過頻率分布直方圖分析數據的知識出發，通過數學建模實現對現實問題的解決，既反映了正態分布的廣泛存在性，又在數學建模解決問題的過程中體會了正態曲線的產生過程。實現了數學建模與課堂內容的良好結合，達到了數學建模的有效滲透。