結合新教材利用GeoGebra動態幾何軟件的數學教學改革與創新

曾純一 魏剛

少數民族預科數學教育是一項任重道遠而意義深遠的長期工作，預科階段對學生來說不僅僅是高中知識到本科知識的轉折和過渡，更是在思想、意志、人生觀形成、轉變的一個重要環節；特別是對于預科文科生及新疆兩年制學生來說學好高數首先要作好心態的調整，考慮到部分雙語學生漢語語言基礎較差和對數學定理定義的理解能力較弱的真實現狀，我們以新編教材和教學大綱為依托，立足于促進預科學生全面、持續、和諧發展的基本出發點，處處體現出預科數學課程的設置的基本目的不只是讓學生掌握數學的基礎知識、基本技能和方法，而是有著更為寬廣的內涵：讓學生愿意親近數學、了解數學、運用數學；發展學生的理性精神、創新意識和實踐能力；所以我們要深度挖掘教材內涵，精妙設計教學過程，通過橫向縱向新舊知識的類比，肩負起讓學生在數學學習過程中獲得成功的體驗，磨練克服困難的意志，建立自信的重要使命，我們要試圖找到預科學生數學學習過程中的一個個思維激活點，激發他們的學習熱情，力求在高中三年教學內容及高考命題研究的基礎上，指導學生以數形結合為基礎循序漸進地完成從靜態的初等數學觀點到動態的高等數學觀點的過渡，同時做好在預科已有的知識框架下的查漏補缺工作和數學思維模式的轉變，淡化他們對高等數學數學這門基礎課程的陌生感。眾所周知，從數學發展的歷史看，克萊因反復強調的一個教育原則：即是一定要按照學生的認知規律進行教學。具體說來，要由簡單到復雜，由具體到抽象，由感性到理性等。所以接下來我們重點強調幾何的形象問題對于學習高等數學的意義及作用。特別針對一些預科學生感覺抽象的無限分化和無限動態逼近的過程，利用GeoGebra動態幾何軟件的形象、直觀、生動的感官優勢，可以通過拖動滑動條，設置參數的不同區間值以及精準地控制趨近速度把一個個動態無限逼近過程體現得淋漓盡致，同時還可以橫向比較出不同函數的趨近速度以及快捷地通過改變參數正負取值清楚地演示出雙側趨近或單側趨近的動態結果并進行分析對比。接下面我們就結合新教材中極限和導數部分相關知識做進一步的研究和教學探討：

（1）由于GeoGebra是一款界面為中文菜單的動態圖形軟件，能方便快捷地生成交互式的動態圖形模式，并且有專門的微積分工具欄，對于學生學習理解微積分中的動態無限逼近或一些抽象定理結論有更加直觀、形象的感受，由于不用編代碼就可以直接使用，GeoGebra也具有很強的可操作性，但我們不能在本文中直接呈現其優良的動態交互式形態，接下來我們就盡量用通俗易懂的描述性語言和GeoGebra動態交互模式下的截圖，探究在函數極限這部分課程中運用GeoGebra圖形軟件呈現問題的過程。

例如 在GeoGebra動態交互模式下探究函數 在 處的單側及雙側極限是否存在？

分析：指令欄中輸入：if[x=0，0，x^2 sin（1/x）]

系統在繪圖區立刻生成為紅色曲線的圖像，默認為函數 ，然后生成滑動條a（其中a的范圍0～0.3，增量0.005，x軸y軸是由向量u，v表示的）當取a=0.15的截圖如下圖所示；

再從滑動條分別取a=0.07，a=0.025，a=0.01，…的變化中，可以讓學生很直觀形象地觀察得出此函數當自變量從右側單向趨于0時的極限變化過程（如果讓滑動條a連續變化，讓滑動條a自動交互式變換效果會更好）。同理通過生成不同的滑動條類似可以讓同學們真切觀察出當自變量從左側單向或雙向趨于0時的極限值的變化趨勢，還可以通過對目標函數的局部拉伸和放大縮小來觀察它的左極限和右極限確實都在無限逼近（越來越靠近原點）。

（2）教材中凹凸性的判定定理的推導可以利用函數一階導數與單調性之間的聯系，借助圖形讓學生對二階導數與凹凸性的關系先有一個具體直觀的認識，這樣比先直接用中值定理證明更易讓學生接受，并且所用推導工具又和前面一節的單調性知識點密切相關，既起到承上啟下的作用，又作到新舊知識的自然過渡。

同學們通過這種親身參與的這個探究數學過程設計，獲得了愉悅的成功體驗，把找到的導數隨角度的增加而增大或減小規律提煉成對應的二階導數的結論后也便于記憶和理解。

（3）對于學生普遍覺得較難的不等式證明部分，除了利用導數的單調性，凹凸性外，例如新教材中的例題 ：當 時，證明不等式 成立。還可以形象巧妙地用導數的幾何意義來理解，即不等式的左邊函數對應于的這條直線可以看成在原點處右邊這個函數的切線。

而且進一步推廣上述結論，利用這種導數的幾何意義處理不等式的方法還可以類似解決不等式 和求出滿足不等式 的 最小值（考查參變分離法的2013年高考壓軸題）。

雖然數學是一門依托嚴密的邏輯推理能力得到精準結果的抽象學科，但每一個數學問題的探討和解決過程的體驗對于培養預科學生的意志力有很好的幫助，但應注意的是當學生的認知水平與所作題目不平衡時，不經意間做錯或不會做的幾道題又最容易讓學生滋生挫敗感，因此，在定理概念的講解時，在情景問題設置中，在例題、習題的挑選中，必須把握好“深”與“廣”的尺度。從事預科數學教育工作，需要很多的技巧，使用靈活多樣方法，充分考慮少數民族預科學生的實際情況，把握形成較大個體差異的因素（外在、內在、情感、態度、方法），針對這個過渡階段的教學特點，多思考，想辦法，幫助學生調整到一個積極求知的心態，建立學習高數的熱情與自信，在高中初等數學基礎上，指導學生對應該掌握的數學知識進行查漏補缺，運用高等數學知識來化簡理解初等數學方法，做到新舊知識自然過渡，補預結合，使學生有向往新知識的學習動力，及學習能力的全面提高。

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[5]顧泠沅. 尋找中間地帶：國際數學教育改革的大趨勢。2003. 上海：上海教育出版社.

項目編號：2013zc77。

作者簡介：

曾純一，女，1980-01-12出生，四川自貢人，研究方向：函數論，講師，單位：西南民族大學。

魏剛，男，1978-3-31出生，四川崇州人，中學教育，中學一級，單位：四川師范大學附中。