基于MATLAB的自由落體運動分析與模擬

殷麒翔

摘 要：自由落體運動是高中物理力學的一個重要的學習內容。本文針對高中物理學習中概念抽象、理論公式推導復雜等難點，利用MATLAB的數值計算和圖形技術展示功能，選取了小球在有無阻力情況下的自由落體運動兩種形式，分別進行了動力學分析和模擬計算，并繪制了相應的運動軌跡。在此基礎上，再進一步考慮實際情況，分析模擬了雨滴在自由下落過程中動力學過程，并給出了此過程中速度變化的模擬結果。通過對這些對自由落體運動的分析模擬，使得抽象的物理概念變得直觀、具體，讓學生更容易理解和接受這些知識。

關鍵詞：自由落體運動;動力學分析;雨滴收尾速度;MATLAB;計算機模擬

1.引言

物理學是人類研究物質的基本結構、基本運動形式、相互作用和轉化規律的自然學科，是其他自然科學和工程技術的研究基礎。以物理學為主要內容的中學物理課程，是為將來從事自然科學研究的學生奠定基礎的一門基礎學科。與初中的物理課程不同，高中的物理課程不但內容多、概念多，而且變得更加抽象，很多概念難以理解，空間圖形難以建立。MATLAB數據操作以矩陣作為基本單位，具有豐富的數值計算函數、符號計算功能和功能強大的繪圖功能。因此，借助MATLAB數值模擬功能實現計算結果的可視化，用直觀的數據和圖象形象地描述物理圖形和圖象，把抽象的物理概念變得清晰明了，有助于學生對這門課程的學習。

對于小球自由落體運動，本文在對無阻力和有阻力兩種情況的動力學進行了分析的基礎上，應用MATLAB進行了模擬計算，給出了它們不同的運動軌跡圖形。

2無阻力的小球自由落體運動

在理想情況下，研究物體自由落體運動時往往忽略了空氣阻力的影響，只研究在重力作用的運動軌跡。因此，現在假設質量為m的小球在自由墜落過程中只受到豎直向下的恒定重力mg的作用。

2.1動力學分析

由牛頓第二定律，可以知道物體運動加速度a就是重力加速度g：

ma=mg （1）

在這種情況下，小球的運動加速度保持不變，即作勻加速運動。同時，小球的運動速度由

v（t）=gt （2）

決定。而小球位移由

s（t）=gt2/2 （3）

確定。

本文中選取坐標垂直向下為正。在數值模擬計算中，采用以時間t為自變量來進行“遞推”計算，就得到速度和位移的表達式

v（t+Δt）=v（t）+gΔt （4）

s（t+Δt）=s（t）+Δs=s（t）+v（t）Δt （5）

2.2示例程序

clear%清除變量

g=9.8;%重力加速度

a=g;%小球運動的加速度

m=10;%小球質量

k=0.0;%空氣阻力系數

v=0;%設定初始速度

s=0;%設定初始位移

v1=0;%中間變量用來儲存速度值

a1=0;%中間變量用來儲存加速度值

t=0;%設定初始時間

dt=0.0075;%設定計算步長

I=100;%設定遞推次數

forf=1：I

v=v+a*dt;

a=g;%空氣阻力f=k*（v^2）/m

s（f+1）=s（f）-v*dt;%位移

v1（f+1）=v;

a1（f+1）=a;

t（f+1）=t（f）+dt;%時間變化

end

從模擬結果圖1中可以看出，和前面理論分析的結論一樣，在忽略了空氣阻力的情況下，小球只受到垂直向下的重力的作用，加速度保持恒定不變，而運動速度隨時間呈線性增加，同時小球的位移隨著時間平方遞增。

3.有阻力的自由落體運動

實際上物體在自由下落過程中，總會受到與運動方向相反的空氣阻力的影響，因此物體的速度、位移就會和沒有空氣阻力的結果不同。

3.1動力學分析

還是以質量為m的物體在自由墜落過程中受到豎直向下的恒定重力mg和向上的空氣阻力f的共同作用。由牛頓第二定律，可以知道物體運動加速度a與物體質量m，以及重力mg之間的關系表達式為：

ma=mg·f （6）

而空氣產生的阻力與物體運動的速度成平方關系

f=kv2 （7）

其中k是阻力系數，它與小球的半徑，空氣的濕度、密度等因素有關。

由公式（6），（7）可以得到

a=g-k（v2）/m （8）

反過來，物體的運動速度又由

v（t）=at （9）

決定。

因此，重力和空氣阻力對物體的作用隨著時間的推移在一定條件下可以達到一種平衡狀態，即兩種力大小相等，方向相反，物體處于勻速運動狀態。當然，也和物體的質量有關系。

再進一步分析，物體位移由

s（t）=at2/2 （10）

將（8）式帶入到（10）式就得到有空氣阻力的自由落體運動位移公式

s（t）=（g-k（v2）/m）t2/2 （11）

在數值模擬計算中，仍然以時間t為自變量來進行“遞推”計算，就得到這種情況下的速度和位移的表達式

v（t+Δt）=v（t）+aΔt （12）

s（t+Δt）=s（t）+Δs=s（t）+v（t）Δt+aΔt2/2（13）

考慮更符合實際的一種情況，即雨滴下落過程的運動分析。雨滴在空中下落過程中共受兩個力的作用，一個是豎直向下的重力，雨滴在重力作用下下落;另一個是與下落方向相反的空氣阻力，空氣阻力阻礙雨滴的下落運動。

如果將雨滴看作質量不變的球體進行分析研究，只考慮受到空氣阻力的影響，而作自由落體運動。那么由公式（6，7）得到，當雨滴從靜止開始下落時，雨滴受到的重力大于空氣阻力，合力方向向下，雨滴向下做加速運動，下落速度不斷增大，空氣阻力也隨之急劇增大，向下的合力就越來越小，加速度也越來越小。當mg=kv2時，空氣阻力與重力相平衡，加速度為0，此時速度達到最大速度，也就是收尾速度，不再增加。此后雨滴在慣性的作用下，開始做勻速直線運動（勻速下落）。

如果取雨點半徑為1mm，雨滴的質量約為4.2*10-6kg，阻力系數取5.0*10-8，那么雨滴下落過程中的動力學參數模擬結果如圖2所示。

從模擬結果圖2（a）可以看出，雨滴在剛開始下落的瞬時時刻，由于運動速度非常小，幾乎沒有受到空氣阻力的影響，只受重力的作用，所以加速度在數值上等于重力加速度;而在這之后5秒內，加速度迅速下降，說明隨著雨滴下落的速度越來越快（如圖2（b）所示），它受到的空氣的阻力也變得越來越大，因此在這段時間內加速度變化很快，在6秒左右的時候加速度幾乎接近于零。而從圖2（b）中可以看到，在運動開始11秒后雨滴的速度保持恒定而不再變化，說明此時加速度已經變為零，空氣的阻力與重力達到平衡，雨滴從此開始做勻速直線運動。此時雨滴的速度就達到所謂收尾速度。經過計算可以得到雨滴的收尾速度是28.7m/s。從圖2（c）中可以看出，在整個運動過程中，雨滴位移隨時間呈線性增加。

以上的分析只考慮空氣阻力的作用。實際上，在雨滴下落過程中，還會受到空氣的浮力作用，而且與空氣的密度、濕度都有關系。如果再把雨滴的質量和半徑隨時間變化的因素考慮進來，那么它的速度變化也將變得更為復雜，將超出了本文的討論范圍。

4.分析總結

自由落體運動和雨滴下落過程是高中物理力學的重要的學習內容。本文通過動力學分析，采用MATLAB進行了模擬計算并給出小球在有無阻力情況下的自由落體的運動軌跡。同時，也結合實際情況，分析了雨滴下落過程的動力學參數的變化。這些模擬分析的結果生動直觀地展現了重力和阻力對自由落體運動的影響，使得抽象的物理概念變得清晰具體，容易理解。而且，本文中采用的研究方法也可以應用到更加廣泛的研究領域。

參考文獻

[1]程守洙，江之永.普通物理學（第六版）[M].北京，高等教育出版社.2006;

[2]劉大偉，閆愛玲.雨滴運動分析[J].科學技術與工程.2006，6（9）：1266-1269;

[3]施妙根，顧麗珍.科學和工程計算基礎[M].北京：清華大學出版社，1999（8）：424

[4]王建國，黃海燕，許利軍.關于雨滴降落終極速度的量綱分析[J].河北北方學院學報2008（2406）18-20;

[5]鐘季康，鮑鴻吉.大學物理習題計算機解法---MATLAB編程應用[M].北京：機械工業出版社，2008，103-105;