從一道題中用多種方式求解加速度引發(fā)的思考

郎長紅 于志遠(yuǎn)

摘 要：在連接體問題中關(guān)聯(lián)速度是我們經(jīng)常討論的問題。但是已知速度的表達(dá)式，怎么求出加速度呢？我們可以從多個角度對加速度來進(jìn)行求解：比如根據(jù)受力，利用牛頓第二定律、或者已知速度表達(dá)式，對速度進(jìn)行求導(dǎo)、已知位移表達(dá)式，對位移求二階導(dǎo)...... 本文就是以一道題為例，用多種方式求解加速度，通過多媒體軟件的應(yīng)用，可以畫出任意函數(shù)表達(dá)式的圖像，方便理解物理量的極值。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動的分解 關(guān)聯(lián)速度 幾何畫板 求導(dǎo)

一、從一道題中看求解加速度的多種思路

（一）題目：

為了將一尊雕像搬運(yùn)到半坡的平臺上的C處，牽引車通過定滑輪用鋼絲繩來牽引雕像運(yùn)動。在搬運(yùn)過程的某段時間內(nèi)，牽引車向右以速度v做勻速運(yùn)動，雕像受到的摩擦阻力不計，則

A.雕像的速度越來越大

B.雕像的速度越來越小

C.鋼絲繩的拉力越來越大

D.鋼絲繩的拉力越來越小

在這道題目中，根據(jù)運(yùn)動的分解，很容易判斷出雕像的速度 在增大。把雕像的速度 分解成沿繩方向的速度 和垂直于繩的速度 ，其中沿繩方向的速度 與牽引車的速度 v相等，是不變的。假設(shè)繩與斜面的夾角為θ，雕像的速度等于 ，θ越大，cosθ越小， 越大。A選項(xiàng)正確。 但是加速度的變化則不好判斷，所以不能簡單地說速度增大，繩的拉力就增大。那么如何判斷拉力或者雕像的加速度如何變化呢？

（二）方法1：

第一種方法可以直接定性分析：當(dāng)θ由0增加到90°，根據(jù)表達(dá)式 ，速度 在θ角變化的過程中逐漸趨近于無窮。而作用在物體上的力一定是個有限的值，在有限的位移要將速度增大到無窮大，加速度應(yīng)該逐漸增大。所以C選項(xiàng)正確。但是這種方式解釋起來顯然沒有說服力，我們都知道雕像速度具體的表達(dá)式，也很想得到雕像的加速度的表達(dá)式。

（三）方法2：

第二種方法是把運(yùn)動分解為垂直于繩的運(yùn)動和平行于繩的運(yùn)動。平行于繩的運(yùn)動與牽引車相同，即勻速直線運(yùn)動；而垂直于繩方向的運(yùn)動則是可以分為無數(shù)個小段，每一小段都可以看成是勻速圓周運(yùn)動的一部分，而圓心就是定滑輪，半徑就是繩長。這是高中物理非常常見的微元思想，在圓周運(yùn)動這一章中常用于分析變速圓周運(yùn)動。設(shè)α是繩與豎直方向的夾角，雕像垂直于繩的速度 ，根據(jù)牛頓第二定律，繩的拉力T與重力垂直于斜面分力 二者的合力充當(dāng)向心力，即 。α在減小，重力的分力 在增大，垂直的速度 在增大，繩長L在減小，那么需要的向心力增大，所以繩的拉力 增大。所以C選項(xiàng)正確。

（四）方法3：

第三種是將雕像沿斜面的位移與時間的關(guān)系寫出來。對這個式子求一階導(dǎo)數(shù)，即得出沿繩方向的速度與時間的關(guān)系式。再求二階導(dǎo)數(shù)，得出加速度與時間的關(guān)系式。然后用幾何畫板畫出此關(guān)系式的圖像，看圖像的變化情況。

設(shè)初始狀態(tài)雕像和定滑輪之間的距離是L，定滑輪和斜面的的距離是h，牽引車的速度是v，雕像初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動的時間t。則雕像沿斜面的位移 ，雕像沿斜面的速度 ，雕像的加速度 ，其中 是位移s的一階導(dǎo)， 是位移s的二階導(dǎo)。整個過程滿足 ，即 。

一階導(dǎo)：

二階導(dǎo)：

根據(jù)

所以時間t變大時， 變大，即a變大。

上式的 ，在幾何畫板中將速度v設(shè)定為1m/s，h設(shè)定為1m。而初始的L值分別設(shè)定為10m、15m、25m、35m甚至更大，都可以看到 在逐漸增大，存在最大值。

這樣雕像沿斜面的加速度a的變化情況就一目了然了，再將雕像受到的繩的拉力和重力往沿斜面方向分解，沿斜面的合力F=Tcosα-mgsinβ，加速度 ，α逐漸變大，cosα逐漸減小，重力的分力mgsinβ不變，沿斜面方向的加速度又在逐漸變大，所以繩的拉力逐漸變大。所以C選項(xiàng)正確。

二、多媒體對教和學(xué)的助力

在上題中想要得出加速度的變化規(guī)律，除了會對沿斜面的位移對時間求二階導(dǎo)數(shù)以外，最重要的是得到導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，還要能夠看出它的極值?？墒沁@種復(fù)雜的表達(dá)式，極值根本不容易判斷，這時我們借助了幾何畫板的畫函數(shù)圖像功能。其實(shí)幾何畫板功能十分強(qiáng)大，除了能夠畫圖，還能夠畫動態(tài)圖像、度量角度、長度、面積等。類似的超級畫板、Excel、matlab等等都有很強(qiáng)大的畫圖和處理數(shù)據(jù)的功能。有了這些軟件的助力，教學(xué)中我們可以處理目前數(shù)學(xué)水平解決不了的物理難題，還可以縮短做圖時間。

比如以前我就用Excel的散點(diǎn)圖功能處理數(shù)據(jù)，在驗(yàn)證加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系的實(shí)驗(yàn)中，我們通過控制變量得到了加速度和力成正比，但是當(dāng)研究加速度和質(zhì)量的關(guān)系時，就遇到了一些難題。我們發(fā)現(xiàn)加速度和質(zhì)量不是簡單的正比關(guān)系，我們需要進(jìn)一步尋找二者之間的關(guān)系，比如接著探究是否是反比關(guān)系？或者加速度與質(zhì)量的平方成正比？與質(zhì)量的二次方根成正比？我們從反比開始入手，這時我們用Excel中求倒數(shù)的計算功能快速得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)，然后用加速度和質(zhì)量的倒數(shù)這兩組數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖。圖像中明顯看到加速度與質(zhì)量的倒數(shù)成正比，也就證明了加速度與質(zhì)量成反比。

再比如在電磁學(xué)中，3D打印技術(shù)讓得到任何形狀的電場線和磁感線變成可能，我們可以勾畫出任意場源的電場或者磁場。這讓看不見、摸不著的場形象化、具體化，甚至學(xué)生使用3D打印筆在課堂上就可以現(xiàn)場制作某些場源的電場線或者磁感線，讓探究式學(xué)習(xí)落到實(shí)處。

教和學(xué)中都需要多媒體的幫助，期待科技的快速發(fā)展，更期待更多的科技與教學(xué)的融合。