構造法在中學數學中的運用

洪雅倫

摘要：構造法是數學解題中較為常用的一種方法，尤其是在數學分析中構造法的使用尤為廣泛。其實，構造法是通過將題目中未知的或已知的事物轉化為具有一定規律或一定定義的數學公式或方法，從而對題目進行解答。在中學階段，雖然在高中課本中并沒有明確給出構造法這一定義，但是在一些解題中也用到了構造法的思想。通過讓中學生事先接觸構造法的思想，有助于讓學生在接下來的高等數學中更好地理解并運用構造法。在接下來的內容里我將通過三角函數，數列和不等式三個方面來分別講述構造法在中學數學中的應用。

關鍵詞：構造法；三角函數；數列；不等式

1.引言

在數學的誕生之日起，數學中構造性的解題技巧也隨之誕生。對此，直覺派提出了一個口號：“存在必須是被構造”。直到現代，數學構造法已被廣泛地應用于各種數學解題中。構造法的本質就是通過構造一個與已知（或隱含或待求證）相聯系的數學模型，再充分利用這個數學模型所具有的性質特點來對題目進行求解。

構造法是一種非常簡便、新穎的解題方法，它的靈活性大大吸引了學生的求知欲望。但是，對于構造法他們又不知如何入手。故而，這就需要教師在平時的教學中多為學生提供更多的解法，并且對每一種方法的優缺點都進行比較，從而逐步培養學生的解題速度，并且讓學生從中掌握到最簡的方法，為學生能更好地運用構造法打下化繁為簡的思維基礎。

除此之外，教師還需要培養學生的聯想構造能力。比如，在遇到題目時，教師可以引導學生思考并聯想，題目中哪些條件與之前學過的某些知識點是有聯系的？這道題目是否與之前做過的某道題型相似？解法是否也相似？題目問題是否可以轉化為求解另外的更容易解答的問題？諸如此類，通過引導學生層層聯想，有助于讓學生自行構造一個合適的數學模型，最后找到解決方法。

但是，構造法只是我們解決數學題目的一種技巧，在運用構造法時，我們還需要與其他數學知識相結合。構造法只是幫助我們構造出一個我們所熟悉的數學模型，但是在求解題目的過程中，我們依舊需要運用到我們所構造的數學模型的性質特點，諸如函數思想、數形結合、不等式思想、方程思想、向量思想等等。因此，只有在我們熟悉各類數學知識和數學思想方法的前提下，我們才能靈活運用構造法。

構造法是一種思維跳躍性極大的數學解題方法，它不僅可以運用在函數上，也可以運用到方程等其他方面，它在數學的各個分支均有滲透。構造法也是一門沒有固定規律的方法，它的使用需要調動到我們的各種數學思維，結合抽象思維，逆向思維，發散思維等多種數學思維的共同參與。但是，只要運用得當，它便能夠為我們解題提供一個便捷的橋梁，特別地，在運用構造法解題的過程中，有助于激發學生的發散性和創造性思維，從而培養學生的學習興趣和提高學生的解題能力。

高中數學中會有多個方面使用到構造法。在本篇文章中，我將從三角函數、數列、不等式三個方面來講述構造法在其解題中的運用。

2.三角函數

函數具有很多特殊的性質，特別地，函數還可以通過與圖像相結合來達到讓人更好地理解函數的目的，即是所謂的數形結合思想。在解答三角函數的題目時，如果能夠恰當地利用函數的性質，那將有助于讓我們對三角函數題目進行求解。故而，構造函數也是為我們解題的一個新的思路。

例一已知 且 ，求 的值.

分析如下：本題若利用常規的三角函數的三角恒等變換公式去做，是很難下手的。我們可以觀察到在方程組內的兩條式子里均含有一個a，則我們也許可以想辦法將兩條式子中的a值消去，由第一條式子我們可以得到 ，由第二條式子我們能得到 。因為2a是相等的，所以可以聯立兩條式子得到 。由此我們可以構造一個函數，即為 。然后再利用函數的增減性對函數進行求解。

小結：此題是三角函數中構造函數的一個典型題目。通過構造一個熟悉的復合函數將題目中的式子簡單化，有助于讓我們更好地理解。在三角函數中并不僅僅只有三角公式，構造函數的方法也有助于我們解題。

3.數列

在高考中，數列是很重要也是很有難度的一章。而數列的解題方法有多種，包括疊加法、倒序相乘法、裂項相消法、錯位相減法以及構造法等。數列在構造法上有很多種類型，接下來就先講述構造等差數列。通常題目給出的數列并不是等差數列，但是我們能夠通過加減或者乘除等來對其變形使之變為我們需要的等差數列。

例二已知數列 中， ，求通項公式 .

分析如下：對于本題，我們可利用待定系數法對原題式子進行變形，令 ，然后再分別對式子兩邊平方，可得 ，令 ，解得 。所以可得 。至此，我們已經構造出了等差數列 。但是在這里我們必須要注意一下，由于構造出數列的底數是 ，也即是由于奇偶性不同我們需要構造出兩個不同的數列，分別是當n為奇數時和n為偶數時的兩種不同情況，然后再根據 分別列出 的通式。

小結：本題的解題關鍵就在于構造出等差數列。我們需要熟練掌握待定系數法，然后利用待定系數法所求得的數字代入所設的式子中，從而構造出我們需要的等差數列。在求出等差數列之后，我們必須認真審題，就像本題一樣，在最后的時候我們還需要根據奇偶性判斷出最后的通式。

4.不等式

在證明不等式時，構造函數是較為常用的一種方法，我們需要仔細觀察條件，包括題設以及隱含的條件，根據問題的結構來構造合適的函數，再利用函數的思想和方法來解決問題。

例三 .

分析如下：對于這道題目，我們可以先從要證明的不等式出發，即先將 進行變形得到 ，兩邊取對數可得 ，為方便我們觀察，我們不妨令 ，從而將上式化為 。至此，我們便可以開始構造函數 ，利用導數與函數單調性的關系，對函數 進行求導得出函數 為減函數，又因為 ，從而得出 。原不等式得證。

小結：在利用構造函數來證明不等式時，我們需要抓住題目的結構特點。以本題為例，我們可以先從結論入手，對我們所需要證明的不等式進行變形，然后我們再根據變形之后得到的式子構造相同結構的函數。最后利用函數的性質，包括導數、單調性、奇偶性等來解決題目。

5.結束語

5.1 論題小結

構造不是憑空得來的，它需要我們結合以往學過的數學知識，展開合理的聯想與想象，對問題進行思考，從而構造出我們所需要的數學模型。在使用構造法時，我們必須要把握好數學間不同知識板塊之間的區別與聯系。運用構造法解題，可以快速簡便地解決問題，其關鍵就在于對問題的變形與化歸。

在中學數學中，我們能夠構造的數學模型包括方程，函數，數列，復數，對偶式，三角形等。而主要的構造解題思路又包括類比構造，直覺構造，歸納構造，逆向構造，聯想構造等。這些常用的數學構造模型以及解題思路對學生在以后的解題中具有很大的作用，有助于培養學生活躍的數學思維以及濃厚的數學興趣，提高學生的問題分析能力和數學解題能力，加強學生對已有知識的理解與掌握。

5.2 論題展望

筆者建議，在今后的數學教學中，教師可嘗試多為學生講述能夠一題多解的題目，逐步培養學生的發散性思維和創造性思維，使學生體會到對于一道題目具有多種構造性的解法。構造法在數學分析中的使用尤為廣泛，在中學階段讓學生初步接觸有關構造法的題目，有助于培養學生的數學思維。

參考文獻：

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