淺談新課標(biāo)下空間想象力的培養(yǎng)

許武榮

數(shù)學(xué)空間想象力是數(shù)學(xué)能力的三大基本能力之一，也是新課程目標(biāo)和考試大綱所要求培養(yǎng)的能力之一。空間想象力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖像的想象能力。它主要包括四個方面的要求：1、能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象;2、能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系;3、能對圖形進(jìn)行分解、組合;4、會運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地解釋揭示問題的本質(zhì)。

空間想象力雖然從小學(xué)開始培養(yǎng)，再經(jīng)歷初中的發(fā)展，但對它的培養(yǎng)歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難題。在培養(yǎng)高中生空間想象力的過程中常會遇到生活體驗(yàn)有限、空間識別力低、空間形象感知力差的學(xué)生。那么，如何有效地培養(yǎng)高中學(xué)生的空間想象能力呢？下面從四方面進(jìn)行探討：

一、使學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

培養(yǎng)和提高空間想象力的根本在于學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，不僅包括幾何方面的知識，還有數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容，如數(shù)軸、坐標(biāo)法、函數(shù)圖像、方程與曲線，幾何量的度量與計(jì)算等內(nèi)容，都可以通過數(shù)量分析方法，對幾何圖形加深理解，形成圖像具有具體化，形象化的特點(diǎn)，所以解決某些問題時(shí)恰當(dāng)?shù)匕褦?shù)和形結(jié)合起來，可以化難為易、化繁為簡，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生空間想象力。

二、培養(yǎng)空間觀念

空間觀念是培養(yǎng)空間想象能力的基礎(chǔ)，是指物體的大小、形狀及相互位置關(guān)系在腦中留下的表象。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其中包括“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”。

空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有觀念，幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造，因?yàn)樵S許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先從自己的想象出發(fā)畫出設(shè)計(jì)圖，然后根據(jù)設(shè)計(jì)圖做出實(shí)物模型，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至最終完善成型。

培養(yǎng)空間觀念可以從以下三方面著手：

1、通過觀察、測量實(shí)物和模型，培養(yǎng)學(xué)生的空間感

空間觀念是從現(xiàn)實(shí)生活中積累的豐富幾何知識體驗(yàn)出發(fā)，從經(jīng)驗(yàn)活動的過程中逐步建立起來的，這是學(xué)生理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。培養(yǎng)空間觀念要以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，重視現(xiàn)實(shí)世界中有關(guān)空間與圖形的問題。空間觀念可以通過實(shí)物和模型，使之直觀形象化。實(shí)物包括我們在生活中能見到的所有物體，如大樓、桌子等;模型是指為了用來學(xué)習(xí)、教學(xué)或?qū)嶒?yàn)而照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物體，如圓錐體、正四面體等。

人們認(rèn)識事物的本質(zhì)特點(diǎn)及其規(guī)律，總是從具體到抽象，從感性到理性的。我們應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生觀察、剖析、測量、制作實(shí)物和模型，因?yàn)閷?shí)物和模型直觀性很強(qiáng)，容易為學(xué)生認(rèn)識和理解，也有助于加深學(xué)生對空間幾何體特征的認(rèn)識，逐步形成空間觀念。所以利用實(shí)物和模型進(jìn)行學(xué)習(xí)或教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生空間感不可缺少的途徑。離開實(shí)物和模型，空間觀念既難于建立，更難于向高層次發(fā)展。

現(xiàn)實(shí)生活中有大量的空間與圖形的問題，教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生選擇和提供他們所熟悉的情境，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)問題的感知與操作過程中體會，為形成空間觀念打下基礎(chǔ)。教室是學(xué)生接觸最多的空間立體，我們天天生活在當(dāng)中，我們就可以利用它來培養(yǎng)學(xué)生的空間感。例如：我們在教三視圖前，利用黑板、地板、右手邊的墻構(gòu)成一個立體空間，對應(yīng)于課本上的三面投影體系。然后用粉筆盒當(dāng)作點(diǎn)、直尺當(dāng)作線、三角板當(dāng)作面，讓它們分別向黑板、地板、右側(cè)墻進(jìn)行投影，這樣很難理解的點(diǎn)、線、面投影過程就變得簡單多了。只要教室這個空間立體在腦子里一旦形成，學(xué)生有了一定的空間感，再學(xué)習(xí)三視圖就簡單多了。

2、通過看直觀圖，增強(qiáng)學(xué)生的空間感

直觀圖是指一個物體從直觀看上去的圖形。通過把空間圖形畫在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系，因而看直觀圖成為增強(qiáng)空間感的關(guān)鍵，是由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識轉(zhuǎn)化的橋梁。

無論是展示直觀圖給學(xué)生看，還是引導(dǎo)學(xué)生自己看，都應(yīng)從簡單的平面圖形的直觀圖開始，再到復(fù)雜一點(diǎn)的，接著是簡單空間幾何體的直觀圖，最后是簡單空間幾何體的組合的直觀圖。同時(shí)，在看圖時(shí)，提醒學(xué)生由圖想面，由面想體，從而形成“一圖為一體”的觀念。這樣學(xué)生在思維中儲存的立體信息越多，使用時(shí)提取的立體形象就越多，空間想象力就越強(qiáng)。

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)為立體幾何的教學(xué)提供了有力的工具。在現(xiàn)實(shí)生活中沒法提供觀察的機(jī)會時(shí)，多媒體的運(yùn)用就能發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢，突破時(shí)間和空間的限制，生動形象地再現(xiàn)事物發(fā)生和發(fā)展的過程。多媒體軟件的三維動畫可以清晰、直觀地表達(dá)出每個形體的形成過程及其形狀和投影的關(guān)系，例如GeoGebra 動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，利用這些軟件我們可以繪制生動、形象的立體圖形，使學(xué)生通過對直觀圖透徹的觀察，增強(qiáng)空間感。

3、通過作圖，提高學(xué)生將實(shí)物幾何化的能力

空間觀念是形象思維與邏輯思維交替作用的思維過程，表達(dá)這種思維的最好語言，是幾何語言（即幾何圖形），它能最簡捷最直觀地表達(dá)出空間形式。直觀圖是發(fā)展空間想像力的關(guān)鍵，是由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識轉(zhuǎn)化的橋梁。作實(shí)物的直觀圖，實(shí)質(zhì)是空間圖形的平面化表示，而三視圖和展開圖是對空間幾何體的另外兩種表示方法。

實(shí)現(xiàn)由實(shí)物和模型到圖形的過渡，要使學(xué)生擺脫對直觀圖形的依賴，必須進(jìn)行作圖訓(xùn)練。對一般的高中生來講，把空間幾何體體現(xiàn)在平面上是比較困難的。教師應(yīng)當(dāng)按照作圖的法則，作出示范，使學(xué)生掌握作圖的方法和要領(lǐng)。同時(shí)，作圖訓(xùn)練應(yīng)由易到難，循序漸進(jìn)，先訓(xùn)練作平面圖形的直觀圖，再作空間幾何體的的直觀圖、三視圖和展開圖。畫好后引導(dǎo)學(xué)生將圖形與實(shí)物模型作對比，再根據(jù)直觀圖想象其實(shí)際形狀，逐步擺脫模型。在訓(xùn)練作圖的過程中，要求學(xué)生會畫，而且要畫出很強(qiáng)的立體感。所以，加強(qiáng)作圖的訓(xùn)練，將實(shí)物幾何化是培養(yǎng)空間觀念的最好途徑。

例如，讓學(xué)生從前方、左邊、上方三個角度觀察粉筆盒，讓學(xué)生作出它的直觀圖、三視圖和展開圖來。復(fù)雜一點(diǎn)的，可以指導(dǎo)學(xué)生觀察一個獎杯，然后作出它的直觀圖和三視圖。

三、培養(yǎng)建構(gòu)表象的能力

建構(gòu)表象的能力是指在文字語言、符號語言、三視圖和展開圖刺激指導(dǎo)下構(gòu)想空間幾何體的能力。文字語言、圖形語言、符號語言是數(shù)學(xué)的三種基本語言，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生運(yùn)用三種語言進(jìn)行交流是高中新課程數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求。三種語言能否靈活互譯是決定這種交流成敗的關(guān)鍵因素。培養(yǎng)學(xué)生看到任何一種語言，都能運(yùn)用另外兩種語言進(jìn)行準(zhǔn)確的描述與刻畫，即三種語言靈活互譯的能力。這種互譯能力正是學(xué)生與客觀的空間世界進(jìn)行自然交流的基礎(chǔ)。

學(xué)生通過觀察、測量、折紙實(shí)驗(yàn)以及制作實(shí)物和模型，通過看空間幾何體的直觀圖，對空間幾何體已經(jīng)有了一定量的積累。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在課堂內(nèi)外，通過文字語言、符號語言、三視圖和展開圖的刺激，在大腦中分析圖形的基本元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系，在大腦中構(gòu)想空間幾何體。

例如，（離開模型、圖形）試想象正方體ABCD-A1B1C1D1中：

①在各棱所在的直線中，與直線AB平行的直線有哪些？

②在各棱所在的直線中，與直線AB相交的直線有哪些？

③在各棱所在的直線中，與直線AB異面的直線有哪些？

通過空間幾何體量的輸入，再進(jìn)行一定的訓(xùn)練，使空間幾何體能在頭腦中正確地反映出來，可以培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)表象的能力。另外，大膽想象是培養(yǎng)構(gòu)建空間表象的有效途徑。

四、培養(yǎng)表象操作能力

表象操作能力是指對大腦中建立的表象進(jìn)行加工或操作以便建構(gòu)新表象的能力。將平面圖形折疊成空間幾何體、或?qū)⒖臻g幾何體的表面展開，或?qū)⒖臻g幾何體進(jìn)行割補(bǔ)，或在復(fù)雜圖形中尋找基本元素的關(guān)系等等，讓學(xué)生綜合所學(xué)圖形在腦海中形成的既定表象，形成新的表象，是培養(yǎng)表象操作能力的好方法。

圖例1考察學(xué)生對投影規(guī)律“長對正，高平齊，寬相等”掌握的熟練程度，ABCD四個答案中，ACD很明顯不符合“高平齊”，因?yàn)閮?nèi)部投影的下方變短了，只有B符合故其正確。圖例2考察學(xué)生空間發(fā)散思維能力，學(xué)生能否根據(jù)立體圖找到對應(yīng)的線面投影位置，從而完成補(bǔ)線的任務(wù)，正確判斷出ABC三面的空間位置。此類圖形都能較好的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。

圖例1：選擇正確的左視圖（ ?）.

圖例2：參照立體示意圖，補(bǔ)畫三視圖中漏畫的圖線，并填寫方位。

總之，空間想象力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，它是一個漸進(jìn)的過程，貫穿整個高中的學(xué)習(xí)與教學(xué)。幾何知識來源于社會實(shí)踐，應(yīng)還原于社會生活。空間想象必須依賴于學(xué)生從生活中獲取大量感性材料之后，再進(jìn)行的一項(xiàng)高級的思維活動。因此，在教學(xué)中，要重視實(shí)踐活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常運(yùn)用圖形的特征去想象，解決生活中的各種實(shí)際問題，鞏固學(xué)生的空間觀念。同時(shí)，基礎(chǔ)知識、空間觀念、建構(gòu)表象的能力和表象操作能力這四方面的培養(yǎng)是缺一不可的，應(yīng)同時(shí)進(jìn)行，不可割裂。只有培養(yǎng)好這四方面才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。