利用導數研究函數性質的有關探討

孫秦越

一、引言

以含參數的函數為主，通過對其導數的研究來解析該函數，可以十分方便地了解函數性質，一般來說有三種考查方式：（1）討論函數的單調性;（2）求該函數的極值或最值;（3）利用函數的單調性、極值、最值求參數的范圍。

本文就對通過利用導數求解函數中的參數作有關探討。

二、用分離參數法求函數的范圍

例題;已知函數

（1）求函數f（x）的單調區間

（2）若，不等式f（x）>-1恒成立，求實數a的取值范圍

解：（1）由題可得，

當時，恒成立

∴在上單調遞增;

當a>-時，令=0∴

∴f（x）在上單調遞增。

f（x）在上單調遞減。

綜上所述：當時，f（x）的單調遞增區間為，無單調遞減區間;當a>-時，f（x）的單調遞增區間為;f（x）的單調遞減區間為。

（2）∵f（x）>-1>-1即2a>x2-ex在上恒成立

令g（x）=x2-ex∴（x）=2x-ex

令h（x）=（x）∴h'（x）=2-ex

當時，h'（x）=2-ex<0恒成立

∴h'（x）在上單調遞減

∴h（x）=2x-ex<2-e<0∴g'（x）<0

∴g（x）=x2-ex≤g（1）=1-e

∴2a>g（x）max=1-e

∴

綜上所訴，使用分離參數法求參數的范圍分為完全分離和部分分離，在函數較為復雜的情況下，使用部分分離法可以將原函數化為兩個較為簡單的函數，方便解答，并且可以將問題轉化為最值問題，思路明了。

三、整體法求解參數的范圍

例題：已知函數f（x）=ex-1-x-ax2

（1）當a=0時，求證f（x）≥0

（2）當x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍

（1）證明：當a=0時f（x）=ex-1-x f'（x）=ex-1

令h'（x）=0，∴x=0

∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增

∴f（x）min=f（0）=0∴f（x）≥0

（2）解： f'（x）=ex-1-2ax，令g（x）=ex-1-2ax，則g（x）=ex-2a.

當2a≤1時g'（x）≥0恒成立

∴g（x）在（-∞，+∞）上單調遞增

g（x）≥g（0）即f（x）≥f（0）

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增

∴f（x）min=f（0）=0∴時滿足題意

當2a>1時，令g'（x）=0，∴x=ln（2a）

g（x）在[0，ln（2a））上單調遞減

∴x∈（0，ln2a）時，有g（x）<g（0）=0

∴f'（x）

∴f（x）在[0，ln（2a））上單調遞減，在（ln（2a），+∞）上單調遞增

∵f（0）=0

∴不滿足題意，舍去

綜上所述，實數a的取值范圍為

使用整體法求解參數的范圍時，一定要注意，構造的函數是否簡便，求導之后能否較容易地發現函數的單調性。但是，使用該方法需要注意是否需要分類討論，討論的順序是先易后難，注意將近所有情況討論完。

4.總結

在求參數的范圍時，若遇到f（x）>f（x）的情況，可以用整體法，將原式化為h（x）=f（x）-g（x）的形式，根據函數的單調性或者函數的最值求解函數中的參數的取值范圍。若試式易于分離參數，可先分離參數，構造新函數，直接轉化為函數的最值問題，避免參數的討論。

一般來說，用分離參數法比整體法更加簡單，所以我們可以先嘗試用分離參數法解析，但最終用哪種方法，還需根據實際情況判斷。