從運(yùn)籌學(xué)的角度再看高中線性規(guī)劃求最值問(wèn)題

顏習(xí)位　許世雄

摘 要：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)相銜接的一個(gè)重要基礎(chǔ)。從大學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)籌學(xué)的角度出發(fā)，得出求高中線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的一種新解法。希望能給一線教師和高中學(xué)生一些啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;最值;運(yùn)籌學(xué);解題

文章一開(kāi)始給出運(yùn)籌學(xué)課程中的一個(gè)基本定義和兩個(gè)定理。這些定義和定理在普通運(yùn)籌學(xué)書(shū)籍中都能查找到，并且定理有詳細(xì)的證明過(guò)程，在此就不多贅述。

最優(yōu)解：使某線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值（最大值或最小值）的任一可行解，都稱為該線性規(guī)劃的一個(gè)最優(yōu)解。

定理1：線性規(guī)劃問(wèn)題中的基可行解對(duì)應(yīng)于可行域的頂點(diǎn)。

定理2：線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解存在，則一定存在基可行解是最優(yōu)解。

綜上得出，從運(yùn)籌學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，使得高中二維線性規(guī)劃中，可行域的所有頂點(diǎn)中其中一定存在一個(gè)頂點(diǎn)使得目標(biāo)函數(shù)取到最值。則通過(guò)逆向思維分析，要求解一道高中線性規(guī)劃的最值問(wèn)題，只需把可行域中的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，帶入目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行計(jì)算，所求出來(lái)的最大值即為目標(biāo)函數(shù)的最大值，求出來(lái)的最小值即為目標(biāo)函數(shù)的最小值。若可行域中只存在一個(gè)頂點(diǎn)，則該頂點(diǎn)坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)中所求出的值一定是目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值。

若采用上面的解題思路，則線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了求可行域頂點(diǎn)坐標(biāo)后帶入目標(biāo)函數(shù)比較大小的問(wèn)題。我們暫且把這種方法叫做“頂點(diǎn)帶入比較法”在某些題目中，相比較傳統(tǒng)的解題方法，此方法加快了不少做題速度。下面以高中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題中常見(jiàn)的兩種題型為例，用傳統(tǒng)的解題方法和文中提出的解題方法對(duì)例題進(jìn)行求解，比較兩種解題方法的優(yōu)劣。

題型1：與直線的斜率有關(guān)的最值問(wèn)題

例1實(shí)數(shù)x、y滿足條件，求的最小值。

解一：分析，k值就是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)（-1，1）所連接直線的斜率值。畫出可行域與點(diǎn)（-1，1），可以看出當(dāng)取直線2x-y-2=0與x軸的交點(diǎn)C時(shí)，直線斜率最小，即目標(biāo)函數(shù)最小，此時(shí)，如圖1所示。

解二：求出可行域內(nèi)的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）和（4，0），代入目標(biāo)函數(shù)分別求出和，因此為目標(biāo)函數(shù)最小值。

題型2：與直線的截距有關(guān)的最值問(wèn)題

例2實(shí)數(shù)x、y滿足條件，求z=x+2y的最大值和最小值。

解一：分析：目標(biāo)函數(shù)其實(shí)就是斜率為2的直線的縱截距的一半。畫出可行域，作斜率為，截距為的平行直線系，當(dāng)直線在可行域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)候，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，則縱截距的一半值也是最小的，此時(shí)z=0。當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，縱截距最大，則目標(biāo)函數(shù)也最大，此時(shí)z=3，如圖2所示。

解2：求出可行域內(nèi)的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）帶入目標(biāo)函數(shù)求出z的值為0，1，2，3，則z的最大值為3，最小值為0。

總結(jié)與反思

在線性規(guī)劃求最值的題目中，若可行域的頂點(diǎn)數(shù)不多，則采用文中提出的“頂點(diǎn)帶入比較法”求解可以提高解題速度，但是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用規(guī)劃能力沒(méi)有好處。若可行域的頂點(diǎn)數(shù)過(guò)多，則采用傳統(tǒng)方法解題較為恰當(dāng)。當(dāng)我們從高觀點(diǎn)下看待初高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總能有意外的收獲，對(duì)我們的教學(xué)或者解題有很大幫助。因此，初高中教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)能打破常規(guī)，從較高觀點(diǎn)思考問(wèn)題，從而加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，來(lái)輔助自己的教學(xué)。

作者簡(jiǎn)介

顏習(xí)位（1976.12-），男，漢族，高中數(shù)學(xué)教師，高級(jí)教師，云南省保山市施甸二中，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

許世雄（1993.10-），男，漢族，在讀教育碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）;單位：云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。