淺談向量法在立體幾何問題中的應用

石澤忠

摘 要：空間幾何的問題主要是以簡單的幾何體為載體考查空間中線、面的關系。而空間中線、面的關系需要轉化到平面上來討論，但這種“降維”有時很不好轉化。而空間向量為我們提供了一種非常有效的解法，其主要依據是空間向量本身的意義以及它的運算性。

關鍵詞：立體幾何;向量法

高考立體幾何大題總是圍繞著直線與直線、直線與平面、平面與平面關系，依托棱柱、棱錐設計題目，從證明的方面來說，分證明平行與垂直兩大類;從計算題的方面來說，分空間角的計算，距離的計算，表面積與體積計算三大類。平行問題相對來說比較簡單，本文著重對用向量法解決求異面直線所成的角（線線角）、直線與平面所成的角（線面角）、平面與平面所成二面角的平面角（面面角）以及垂直和點到平面的距離的問題。

首先對相關知識進行梳理：

1.空間位置關系的向量表示

位置關系 向量表示

直線l1，l2的方向向量分別為a，b l1∥l2 a∥ba=λb

l1⊥l2 a⊥ba·b=0

直線l的方向向量為a，平面α的法向量為m l∥α a⊥mm·a=0

l⊥α a∥ma=λm

平面α、β的法向量分別為n，m α∥β n∥mn=λm

α⊥β n⊥mn·m=0

2.空間向量與空間角的關系

（1）設異面直線l1，l2的方向向量分別為a，b，則l1與l2所成的角θ滿足：

cosθ=|cos〈a，b〉|，

（2）平面外一條直線與它在該平面內的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.

設直線l的方向向量和平面α的法向量為a，m，則直線l與平面α所成角θ滿足：

sinθ=|cos〈a，m〉|，

（3）求二面角的大小（）

Ⅰ.如圖①，AB、CD是二面角α-l-β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ=.

Ⅱ.如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ=cos〈n1，n2〉或-cos〈n1，n2〉.即

cosθ=|cos〈n1，n2〉|，

3.點A到平面α的距離：，其中，是平面α的法向量。

運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題時，一般步驟為：

建立恰當的空間直角坐標系（必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線，要在題目中找出或構造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關系：線線垂直、線面垂直、面面垂直）;

求出相關點的坐標;

寫出向量的坐標;

進行向量運算;

轉化為幾何結論。

典例講解：

例1、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD.求異面直接PD與BC所成角的余弦值;

解法一：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又PB⊥PD，BO=2，PO=，

由平面幾何知識得：

以O為原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為O（0，0，0），A（2，0，0），B（-1，0，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，），

（Ⅰ），，。若PD與BC所成的角為，則。故直線PD與BC所成的角的余弦值為

評述：注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量夾角的關系：相等或互補;

求異面直線所成的角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須把所求向量用空間的一組基向量來表示，

例2、如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖（2）.

（1）求證：A1C⊥平面BCDE;

（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小;

（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由.

【解】（1）證明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，

又A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE

（2）建立空間直角坐標系C-xyz則A1，D（0，2，0），M（0，1，），B（3，0，0），E（0，2，0）

設平面A1BE的法向量為n=（x，y，z），則

又

令y=1，則

設CM與平面A1BE所成的角為θ，

∴CM與平面A1BE所成角的大小為

（3）線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.理由如下：

假設這樣的點P存在，設其坐標為（p，0，0），其中p∈[0，3].

設平面A1DP的法向量為m=（x′，y′，z′），

則又

令，則

平面A1DP⊥平面A1BE，當且僅當m·n=0，即4+p+p=0? 解得p=-2，與p∈[0，3]矛盾.

評述：若用綜合推理的方法不易入手，可用向量代數的方法則先證明線線垂直，再由線線垂直來證明線面垂直，從而證得面面垂直.證明面面垂直的原理是一致的，只不過是證明的手段不同.

例3、如圖，幾何體EF?ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°

（1）求證：AC⊥FB;

（2）求二面角E-FB-C的大小.

【解】（1）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四邊形CDEF為正方形，∴DC⊥FC

∵DC∩AD=D，

∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，

∴AC=2，BC=2

則有AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB

（2）由（1）知AD，DC，DE所在直線相互垂直，故以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

設平面EFB的法向量為n=（x，y，z），

則有，，

令，則

由（1）知平面FCB的一個法向量

設二面角E-FB-C的大小為θ，由圖知

評述：利用向量法求二面角的步驟：

（1）建立適當的空間直角坐標系;

（2）分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;

（3）求出兩個法向量的夾角;

（4）判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角;

（5）確定出二面角的平面角的大小.