超聲激勵薄液膜Faraday波形成機理

高國富，李康，李瑜，向道輝，趙波

（河南理工大學 機械與動力工程學院，焦作454000）

隨著金屬粉末注射成型技術、球柵電子封裝技術以及金屬3D打印制造技術等先進粉末冶金技術的發展，高性能金屬粉末的制備受到了廣泛關注［1］。當前金屬粉末的主要制備方法有等離子旋轉電極法、等離子霧化法、均勻顆粒成型法和氣霧化法等［1-2］。其中均勻顆粒成型法和氣霧化法應用最為廣泛。氣霧化法存在噴嘴結構復雜、收得率低、衛星粉形成機率大等缺點［3］。均勻顆粒成型法因受到噴嘴直徑的影響，較難制備直徑小于100μm的金屬顆粒［4］。超聲輔助靜電噴涂概念的提出為微納米顆粒的獲取提供了新的解決方案。超聲輔助靜電噴涂的原理是薄液膜受到高頻超聲振動，在液膜表面形成大量微細駐波。同時，在靜電場的作用下，從波峰處分離出直徑均勻的帶電液滴，實現獲得均勻顆粒目的［5］。

液體受到周期性垂直激勵形成的振動頻率為超聲激勵頻率1／2的液體表面波統稱為Faraday波［6］。Benjamin和Ursell［7］推導了圓柱形容器中自由表面波運動的振幅方程，并用穩定性理論得出不同條件下表面波振動頻率可為超聲激勵頻率的1／2、1或者3／2倍。Eisenmenger［8］基于線性流變振蕩理論對Faraday波的形成進行理論分析和實驗驗證，測量了不同超聲激勵頻率下毛細波波長及形成毛細波的初始激勵振幅，給出激勵振幅與毛細波振幅的關系。Peskin和Raco［9］對薄液膜進行線性穩定性分析，導出了超聲霧化的霧粒直徑與超聲激勵頻率、換能器振幅和薄液膜厚度之間的關系。Sindayihebura等［10-11］分析了超聲激勵頻率、振幅、平均膜厚、液體黏度等對駐波的影響。菅永軍等［12-14］忽略表面張力的影響，用兩變量時間展開法得到具有立方項以及底部驅動項影響的非線性振幅方程。當受迫振動頻率較低時，表面張力可忽略，但在高頻條件下表面張力不可忽略。Higginbotham 等［15］通過實驗觀察到低頻振蕩器產生與亞諧波Faraday波相關的液滴，高頻振蕩器產生與諧波響應一致的液滴；中頻振蕩器可根據驅動振幅激發任何一種響應的液滴。在高頻振蕩器中，可以通過增大驅動振幅改變霧化液滴的尺寸。Li和Umemura［16］基于不可壓縮歐拉方程對Faraday波不穩定性進行了兩相流仿真，從物理上探討了液體韌帶是如何從振動的液體層脫離。劉財興等［17］從實驗與理論兩方面研究了垂直激勵低黏度硅油在低頻范圍內Faraday波的特性，發現隨著超聲激勵頻率增大，駐波圖案的波峰數增加，模態復雜化，對應的驅動振幅減小。Sheldrake等［18］系統地探索了振幅、頻率、體積（或深度）、溫度和大氣壓力對垂直壁圓形容器中Faraday波形的影響。趙文定等［19］由Faraday波振幅方程導出了穩定條件下的色散關系，利用參量共振方程得到了在亞簡諧條件下本征波矢的取值范圍。Tadrist等［20］導出了由垂直振動液體表面產生的Faraday表面波模型。

綜上所述，Faraday波多在較低的激勵頻率下研究，對超聲激勵下Faraday波的理論和實驗研究較少。Faraday波的波長與激勵頻率有關，通過增大激勵頻率可得到微納尺度波長的表面波，進而有利于獲得微納顆粒。本文針對超聲激勵頻率為35 kHz條件下液膜表面形成Faraday波進行有限元仿真和實驗，對Faraday波的形成機理進行探究。

1 CFD有限元仿真分析

對薄液膜施加垂直其表面的超聲振動，在液膜表面激發排列整齊的正方形表面波陣列，即Faraday波。通過CFD有限元仿真對Faraday波的形成機理進行探究，并對Faraday波的形成過程及相關條件進行討論。

1.1 計算模型

表面波的幾何形狀與液體體積有關，而較少的液體體積不影響仿真結果。三維計算模型雖然直觀，但考慮到計算時長和硬件限制，二維計算模型時間成本較低，且不影響仿真結果，故選擇二維計算模型。

該計算模型采用超聲激勵頻率為35 kHz，所用液體為蒸餾水（室溫為20℃）。蒸餾水的表面張力為0.072 N／m，動力黏度為0.001 N·s，密度為1 000 kg／m3［21］。

表面波波長由開爾文公式［22］計算：

式中：l為表面波波長；σ為液體表面張力；ρ為液體密度；f為超聲激勵頻率。

將相關數據代入式（1）可知，35 kHz超聲激勵水薄膜形成表面波的波長約為113.87μm，因此模型長度設置為1mm，約為理論波長的8.7倍，液膜厚度為0.05mm。為研究薄液膜表面波的運動情況，設置液體域上方的空氣域高度為液膜厚度的2倍，即為0.1mm。因此，CFD有限元仿真二維計算模型由2個矩形組成，分別為上方空氣域矩形及下方流體域矩形。空氣域矩形長度為1mm，寬度為0.1 mm，流體域矩形長度為1 mm，寬度為0.05mm［23］。

在該二維計算模型中，以非結構網格對計算域進行網格劃分，考慮到表面波波長和液膜底部側壁及空氣域上邊界對表面波影響較小，液膜底部和側壁一個網格的長度設置為10μm，空氣域上邊界一個網格長度設置為10μm，空氣域兩側邊界和流體域上邊界對表面波的形成影響較大，因此對這兩部分網格進行加密處理，設置一個網格長度為5μm，使每個表面波波長方向上劃分有20個網格，以保證計算的有效性［24］。計算模型如圖1所示。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

采用多相流模型（VOF）對氣液交界面的運動情況進行追蹤顯示。在計算模型中，除空氣域的上邊界條件為壓力出口（pressure-out）之外，其余的邊界條件均為壁（wall），液體域中的側壁無剪切滑移作用［25］，具體如圖1所示。通過動網格及用戶自定義函數（UDF）功能，在流體域下邊界施加超聲振動［26］。設施加超聲振動位移為

式中：ω為超聲激勵角頻率，；A為超聲激勵振幅；t為時間。

流體域底部作簡諧運動，其軸向速度為

通過相圖和流線圖，對超聲激勵下液體表面波的形成過程進行分析。

1.2 仿真結果與分析

利用動網格和 UDF功能對流體域施加35 kHz超聲振動。圖2所示為超聲激勵頻率35 kHz、超聲激勵振幅8μm條件下不同時刻薄液膜的氣液相圖。

圖2 超聲激勵頻率35 kHz、超聲激勵振幅8μm條件下不同時刻的Faraday波相圖Fig.2 Phase diagram of Faraday wave at differentmoments under ultrasonic excitation frequency 35 kHz and ultrasonic excitation amplitude 8μm

從圖2中可知，當施加超聲激勵后，薄液膜表面從靜止狀態開始振動，經歷一段時間（7.2×10－5s），在液膜表面中心位置存在振幅較小的表面波動；隨著時間推移（1.3×10－4s），液膜表面波動較明顯，振幅不斷增大；當經歷多個周期超聲激勵（1.9×10－4s）后，液膜表面波動現象逐漸趨于穩定，振幅不再增加，波峰波谷隨著時間作交替變換，波節位置基本保持不變。

圖3為超聲激勵頻率35 kHz時，不同超聲激勵振幅的氣液相圖。如圖3所示，當施加超聲激勵振幅為2、4μm時，表面波動不明顯；當施加超聲激勵振幅增加為6、8、10μm時，薄液膜表面出現較明顯的均勻表面波，且中間位置表面波一致性好；當施加超聲激勵振幅為12μm時，表面波振幅較大，形成脖子，表面波波峰脖子以上液體有脫離液膜主體的趨勢，即超聲霧化即將發生。

由圖3可知，當超聲激勵振幅超過某一臨界值α時，在液膜表面產生表面波；超聲振幅增加，表面波振幅隨之增加；當超聲激勵振幅超過臨界值β時，薄液膜表面的表面波波峰處形成脖子，脖子以上液體不再恢復到薄液膜主體，即發生超聲霧化現象。在不同超聲激勵振幅下，表面波波長基本無變化，即某一種液體在同一超聲激勵頻率下，改變超聲激勵振幅僅改變表面波振幅，對表面波波長無影響。

圖4所示為施加超聲激勵頻率35 kHz，超聲激勵振幅8μm條件下，1.9×10－4s時刻的氣液相圖，表1為圖4中各個波峰位置處的坐標值及形成的表面波波長。表面波波長為后一波峰坐標位置與前一波峰位置坐標的差值，最終得出該時刻表面波平均波長。

圖3 超聲激勵頻率35 kHz條件下不同超聲激勵振幅的Faraday波相圖Fig.3 Phase diagram of Faraday wave under different ultrasonic excitation amplitudes at ultrasonic excitation frequency 35 kHz

圖4 超聲激勵頻率35 kHz、超聲激勵振幅8μm條件下1.9×10－4 s時刻的Faraday波相圖Fig.4 Phase diagram of Faraday wave at 1.9×10－4 s under ultrasonic excitation frequency 35 kHz and ultrasonic excitation amplitude 8μm

從圖4可知，薄液膜表面形成了結構一致的表面波。在薄液膜表面有9個波峰，第1個波峰和第9波峰的方向不是豎直向上，這可能是由于表面張力的存在使處于邊緣處的液膜有一定坡度，造成波峰方向有偏差，其余波峰方向豎直向上，且相鄰波峰之間長度基本一致。通過取點測量，各個波峰橫向坐標如表1所示，9個波峰之間的平均距離為109.74μm，即表面波平均波長為109.74μm，與式（1）計算的理論值113.87μm的誤差為3.6%。

圖5為一個超聲激勵周期表面波的流線圖。其中，T為一個超聲激勵周期，ti為仿真經歷時間。超聲激勵頻率為35 kHz，超聲激勵振幅為8μm。從流線圖可知：

1）遠離薄液膜的空氣域速度方向始終和超聲激勵（液膜底面）的速度方向保持一致，薄液膜附近空氣域的速度方向有偏差，此部分空氣域速度變化較快，液體域速度存在滯后現象。

表1 圖4中各個波峰位置處的坐標及波長Tab le 1 Coord inates and wavelength at each peak position in Fig.4

2）超聲激勵豎直向下的速度逐漸減小轉向為豎直向上并增大到最大值的過程中（圖5（a）、（b）和（f）），波峰左側空氣域和流體域的速度矢量組成一個順時針閉環，波峰右側空氣域和流體域的速度矢量組成一個逆時針閉環。表面波波峰和波谷先短暫增加然后衰減至液膜表面基本為平面，空氣抑制表面波增長。

3）超聲激勵豎直向上的速度由最大值逐漸減小轉向并增加到豎直向下最大值的過程中（圖5（c）～（e）），波峰左側空氣域和流體域的速度矢量組成一個逆時針閉環，波峰右側空氣域和流體域的速度矢量組成一個順時針閉環，空氣促進波峰波谷增長。

4）圖5中x＝0.5mm處表面波在（a）中為波峰，在（f）中為波谷，即一個超聲激勵周期約為液膜表面波運動周期的1／2，超聲激勵與表面波運動存在不斷變化的相位差，一個相位差變化周期約為2個超聲激勵周期。圖6所示為圖5中x＝0.5mm處表面波與超聲激勵的相位變化，圖中η為位移量。

表面波是外加周期性垂直激勵后流體域和空氣域相互作用形成的。超聲激勵豎直向下的速度逐漸減小轉向為豎直向上且不斷增加到最大值的過程中，由于液體域慣性較大，液體域波峰處液體保持原來的運動趨勢，波峰處空氣域速度方向隨超聲激勵的變化而變化，因此在波峰左側形成順時針速度矢量閉環，在波峰右側形成逆時針速度矢量閉環，此過程中空氣域抑制波峰和波谷的增長；同理，當超聲激勵豎直向上的速度由最大值逐漸減小轉向并增加到最大值的過程中，在波峰左側形成逆時針矢量閉環，在波峰右側形成順時針矢量閉環，空氣域促進波峰波谷的增長。

2 實驗分析

為測試超聲激勵表面波的形成狀態，實驗采用35 kHz超聲波發生器和圓錐形變幅桿組成超聲振動系統，通過超景深顯微鏡（VHX-2000）觀察變幅桿發射端薄液膜表面的運動情況，實驗裝置如圖7所示。

將工作液（蒸餾水）均勻涂覆在變幅桿發射端。通過超聲振動系統對液膜施加縱向振動，激勵液膜表面形成Faraday波。在超聲振動系統上方搭建超景深顯微鏡，觀測液膜表面狀態。圖8為通過超景深顯微鏡觀察到的薄液膜表面超聲激勵產生的Faraday波陣列。

在圖8中，液膜表面存在均勻分布點陣，其中亮點為表面波波峰或波谷，彼此相間，表面波波節位置基本不變，2個亮點之間的距離為表面波波長的1／2，3個亮點之間的距離為一個表面波波長。通過測量，3個亮點之間距離的平均值約為117.6μm。因此，實驗獲得表面波的振動頻率約為超聲激勵頻率的1／2，理論誤差為3.3%。實驗測得的表面波波長大于理論值，這可能是由開爾文公式未考慮重力波的影響和測量誤差的存在造成。

圖7 實驗裝置平臺Fig.7 Experimental device platform

圖8 表面駐波陣列Fig.8 Surface standing wave array

3 結 論

通過實驗和CFD有限元仿真分析，對薄液膜在超聲激勵下形成的表面波進行了研究。

1）通過CFD有限元仿真分析，同一超聲激勵頻率下，當超聲激勵振幅超過臨界值α時，經歷數個超聲激勵周期后，薄液膜表面激發形成Faraday波。隨超聲激勵振幅增加，Faraday波振幅增大，當超聲激勵振幅超過臨界值β時，會產生超聲霧化現象。此外，表面波波長不隨超聲激勵振幅的改變而改變。

2）通過對一個超聲激勵周期表面波流線圖分析，在超聲激勵豎直向下的速度逐漸減小轉向為豎直向上且不斷增加到最大值的過程中，波峰處存在速度矢量閉環，空氣抑制表面波的增長；當超聲激勵豎直向上的速度由最大值逐漸減小并轉向增大到豎直向下最大值的過程中，波峰處存在速度矢量閉環，空氣促進表面波的生長。液膜表面的表面波是在外部周期性激勵下由空氣與液體相互作用形成的。表面波波峰或波谷與超聲激勵存在不斷變化的相位差，一個相位差變化周期約為2個超聲激勵周期。

3）超聲振動激勵薄液膜表面形成Faraday波，實驗測量的Faraday波波長與理論計算值相比較，得出35 kHz超聲激勵形成Faraday波的振動頻率約為超聲激勵頻率的1／2，與CFD有限元仿真分析結果一致。