漫話狄利克雷函數

李紅

青年問禪師：“我覺得我在這個世界上是多余的，沒有人需要我.”

禪師說：“就像你所學的數學，無論怎樣復雜艱深的函數，都有適合的圖象對應.你只是還沒找到那個圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫下了狄利克雷函數的描述.

狄利克雷函數可以簡單地表示為分段函數的形式：D（x）={1，x為有理數，0，x為無理數.在中學范圍內，我們可以理解的基本性質有：（1）定義域為整個實數域R;（2）值域為{0，1};（3）函數為偶函數;（4）無法畫出函數圖象，但是它的函數圖象客觀存在;（5）以任意正有理數為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數的簡介

狄利克雷函數的出現是函數概念發展過程中的標志性事件之一.狄利克雷（1805- 1859），德國數學家，他是解析數論的創始人，很多小學生熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數的圖象就是函數的寫真，狄利克雷函數圖象是客觀存在，但卻無法畫出的.

狄利克雷函數的出現，不僅給了我們一個無法畫出函數圖象的反例，而且極大地推動了函數概念的發展，使人們對函數的認識超越了1718年瑞士數學家約翰·伯努利提出的函數解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認識到怎樣去建立兩個量x與y之間的函數解析式是無關緊要的，關鍵是建立它們之間的對應，從而創立了現代函數的正式定義：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值x，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數的另一個重要性質.具有周期性的函數，我們更關心函數的最小正周期.那么，具有周期性的函數是不是都有最小正周期呢？答案是否定的，狄利克雷函數是周期函數，但是沒有最小正周期，因為不存在最小正有理數.

二、狄利克雷函數的應用所以，周期T=3，故a20=a2= √3.

點評 該問題以狄利克雷函數為背景，將周期性和數列性質進行有機整合，有韻味有變化，看似結構復雜卻并不復雜.

例 2

已知函數 f（x）={ 1，x，為有理數，0，x、為無理數，出下列四個命題：

①函數f（x）是偶函數;

②函數f（x）是周期函數;

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=l，2，3）為頂點的三角形是等邊三角形;

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命題的序號是_____（填上你認為正確的所有命題的序號）.

解析 ①若x為有理數，則 -x也為有理數，所以f（x）=f（x）=1;

若x為無理數，則-x也為無理數，所以f（x）=f（-x）=0.

綜上有f（x）=f（-x），故函數f（x）為偶函數，①正確.

②若x為有理數，則x+3也為有理數，于是f（x+3）=f（x）=1;若x為無理數，則x+3也為無理數，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數的一個周期，即f（x）是周期函數，故②正確（易知，任何一個芷有理數都是它的周期）.

③設三個點（x1，0），（x2，1）（x3，0），且x1=x3= 2x2，x3-x2=√3/3，令x2=0，x1=-√3/3，x3=√3/3，合題意，③正確.

④假設存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB在x軸上，點C在直線y=1上，故斜邊AB=2，且點A，B的橫坐標是無理數，則斜邊AB的中點橫坐標也是無理數，C的橫坐標是無理數，縱坐標只能為0，不符合題意;若斜邊AB在直線y=l上，點C在x軸上，故斜邊AB=2，且點A，B的橫坐標是有理數，則斜邊AB的中點橫坐標也是有理數，C的橫坐標是有理數，縱坐標只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤.

故正確答案為①②③.

點評 要解決好這個問題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結合狄利克雷函數性質進行了構造處理，或許數形結合效果會更好，不妨試試看.

文章到此應該結束了，但我仍然有意猶未盡的感覺，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

狄利克雷一生只癡迷于數學事業，對于個人和家庭都是漫不經心的.當他的第一個孩子出生時，向岳父寫的信中只寫上了一個式子：2+1=3.

你懂的.

鞏固練習

1.（福建卷）設函數D（x）={1，x，為有理數，0，x為無理數，則下列結論錯誤的是（ ）

A.D（x）的值域為{O，1}

B.D（x）是偶函數

C.D（x）不是周期函數

D.D（x）不是單調函數

2.f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2 +nx+p，a，b，c，m，n，p為非零常數，其中b2- 4ac=a2，設d（x）={x，x為有理數 0，x為無理數 關于x的方程f（d（g（x）））=0的解最多有___個.

參考答案

1.C. 2.4.