漫話高斯函數

倉萬林

“數學王子”高斯小時候的故事，連小學生都知道.在許多人眼中，他就是數學的代名詞.

高斯（Gauss，1777 1855），德國著名數學家，近代數學奠基者之一.如果推選世界十大數學家，高斯是其中的一位;如果推選世界三大數學家，高斯仍然位列其中.

一、高斯函數簡介

我們把不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作[x].

取整函數y=[x]早在18世紀就為“數學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數.和前面遇到的狄利克雷函數一樣，高斯函數也是高中階段我們會遇到的感覺“怪怪”的函數.

它的圖象是由一些高低不同的水平線段組成，形狀上像個階梯，通常義稱為“階梯函數”.

二、高斯函數的應用

例1 （2017年北京順義區二模）某學校為了提高學生綜合素質、發展創新能力和實踐能力，促進學生健康成長，開展評選“校園之星”活動.規定各班每10人推選一名候選人，當各班人數除以10的余數大于7時再增選一名候選人，那么，各班可推選候選人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數）可以表示為

（

）

A.y=[x/10]

B.y=[x+2/10]

c.y=[x+3/10]

D.y=[x+4/10]

答案 B.

解析 由題意，根據規定每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于7時再增加一名代表，即余數分別為8，9時可以增選一名代表，此時要進一位，所以x最小應該加2，最大要小于3，因此利用取整函數可表示為y=[x+2/10]，所以選項B是正確的.

點評 本題在處理時，除了用高斯函數性質來分析外，也可以直接特殊化確定結論.

例2 （2016年高考課標理科卷）Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如：[0. 9]=0，[lg99] =1.

（1）求bl，b11，b101;

（2）求數列{bn}的前1 000項和.

解析 （1）設{an}的公差為d，據已知有7+21d=28，解得d=l，

所以{an}的通項公式為an=n.

b1=[lg1]=0，b11=[lg11] =1，b101=[lg101]=2.

（2）因為bn={ 0，1≤n<10， 1，10≤n<100， 2，1OO≤n<1 OOO， 3，n=1 OOO，

所以數列{bn）的前1 000項和為1×90+2×900+3×1=1 893.

點評 原本簡單的基本量運算問題，和高斯函數進行整合后立即變得很新穎.一是通過轉化，化“新”為“舊”;二是通過深入分析，多方聯想，以“舊”攻“新”.要看清問題的本質，我們可以在閱讀上多下功夫.

類比取整函數，我們不難構造出小數函數f（x）=x-[x].圖象如圖2所示：

例3 已知x為實數，[x]表示不超過x的最大整數，則函數f（x）=x- [x]在R上為

（

）

A.奇函數

B.偶函數

C.增函數

D.周期函數

答案 D.

解析 因為f（x）=x-[x]，

則f（x+1）=（x+1）- [x+1]=x+1- （[x]+1）=x-[x]=f（x），所以f（x） =x一[x]在R上是周期為1的函數，故選D.

1855年高斯去世，留下遺言把正十七邊形（高斯第一個給出了正十七邊形的尺規作圖法）刻在墓碑上，母校哥廷根大學實現了他的遺愿，樹立了以正十七棱柱為底座的墓碑，由于完整的十七邊形，看起來會和圓難以區分，所以用正十七邊形的各頂點代替，刻在墓碑上，以此紀念“數學王子”對數學的貢獻.