角度制與弧度制

孫洋

在初中數學中，我們對角的度量，采用的是角度制.到了高中，課本上又介紹了一種新的度量角的方法——弧度制.弧度制，顧名思義，用弧長來度量角的方法，我們用弧長與半徑的比來刻畫圓心角的大小，

引入弧度制有何意義呢？

談到弧度制，我們首先要了解三角學.公元前約300年古巴比倫時期開始到公元640年古希臘數學落幕是三角學的萌芽時期，在那一時期，由于天文學的需要，三角學受到學者們的重視，它是天文學的一部分，其主要任務是計算圓的問題.從公元640年古希臘數學落幕后到15世紀文藝復興開始前是三角學的傳播時期，三角學逐漸從天文學里脫離出來，成為數學的一個分支，但這段時期的三角學與古希臘時期的三角學沒有本質上的區別，從文藝復興開始至今為三角學的確立時期.印度數學家利提克斯將正弦、余弦、正切、余切、正割和余割定義成直角三角形邊長的比，這樣三角學就不必再依附于網而僅在一個直角三角形中存在.

隨著微積分的出現，三角學的重點逐漸由計算變成函數方法.而嚴格的弧度制是由大數學家歐拉提出的，并逐漸被大家接受和廣泛使用.也就是說，在研究三角學的過程中，人們確實是先使用了角度制，后來又引入了弧度制，并且隨著數學的發展，弧度制逐漸替代了角度制成為度量角的單位制度.可是，原因義是什么呢？

角度制，是將一個周角360等分，取一份為1°，將1°的角60等分，取一份為1'，將1'的角60等分，取一份為1".所以，角度制的進制是六十進制.在古巴比倫和古希臘時期，人們已經普遍習慣了這種角的度量制.古巴比倫人為了研究圓內三角問題的方便，他們甚至將弧長和半徑也使用六十進制表示，并且編制了各種弦表以方便計算.但是對長度的度量，人們更習慣用十進制來表示，這就造成了進制的不統一，使得在三角函數的計算過程中計算和查表變得很不方便.而引入弧度制，進制的不統一就得到了自然的解決.作為函數，弧度制還使得函數的白變量和應變量的形式統一成長度的比值.自變量角，使用弧長與半徑的比，應變量三角函數，使用了直角三角形兩邊的比.當然，弧度制被廣泛接受，更是受到微積分的推動.在微積分的很多公式中，角的度量使用弧度制會比使用角度制來得更加直觀和方便，當然，這部分內容，同學們只有到了高等數學中才能真正的有所體會.這也是為什么我們的同學不能深刻體會弧度制優越性的原因.

了解了上面的歷史知識，我們應該發現，使用弧度制替代角度制來度量角是很重要的.弧度制直接溝通了弧長和圓心角之間的關系，大家熟悉以后也會發現在解決一些弧長的問題時使用弧度制很方便.比如：若扇形的半徑變為原來的3倍，但是弧長不變，則弧所對的圓心角變為原來的弧所對的圓心角的幾倍？這個題目，因為缺少具體的扇形半徑與弧長，所以無法算出前后兩個圓心角的大小.如果使用角度制，可以利用公式l=n/180兀r得到圓心角n與半徑r成反比，得到答案1/3，不過公式里面還有系數π/180;如果使用弧度制公式l=ar，直接得到網心角α與半徑r成反比，得到答案1/3.從這里可以看出，弧度制簡化了公式的形式.

我們再來看下面這個例子：已知扇形的周長為20 cm，當它的半徑和圓心角為多少的時候，扇形的面積最大？如果利用角度制，半徑r和圓心角n之間滿足20=2r+n/180兀r，目標函數扇形面積S=n/360兀r2，如果消去r，則得到關于n的函數S=n/360兀·（3600/3600+nπ）2=36000/n2+720+3602/n≤25，當且僅當nπ2=3602/n，即n=360/π時取等號;如果消去n，則得到關于半徑r的函數s=1/360·360（10 -r）/πr·=r（10-r）≤25，當且僅當r=10-r，即r=5時取等號.后者運算量稍小，但是公式的化簡方面還是有些困難的.

那我們再試試利用弧度制運算，半徑r與網心角α之間滿足2r+ αr=20，目標函數扇形面積s=1/2αr2，如果消去r，得到關于圓心角α的函數s=1/2α·（20/α+2）2=200/α+4+4/α≤25，當且僅當α=4/，即α=2時取等號;又如果消去α，得到關于半徑r的函數S=1/2·20-2r/r·r2= r（10-r）≤25，當且僅當r=10-r，即r=5時取等號.

哪種表示方法好，一目了然.