例談三角函數與三角恒等變換

仝建

親愛的同學們，今天我們來復習必修4三角函數和三角恒等變換的內容.這兩章的內容主要包含哪些重要的題型呢？其中義運用了哪些重要的概念、公式和思想方法呢？讓我們一起來看一看，練一練吧.最好自己動手先做，然后再看解析.

1.三角函數的概念

例1 （1）若θ為第四象限的角，試判斷sin（cosθ）.cos（sinθ）的符號;

（2）已知角α的終邊過點P（-3cosθ，4cosθ），其中θ∈（π/2，兀），求α的正切值.

解 （1）因為θ為第四象限角，所以00，cos（sinθ）>0，所以sin（cosθ）·cos（sinθ）>0.

小貼士 （1）判斷三角函數的符號，需根據三角函數的符號規律“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即角的終邊在第一象限時，三個三角函數都是正的，角的終邊在第二象限時，只有正弦是正的，角的終邊在第三象限時，只有正切是正的，角的終邊在第四象限時，只有余弦為正.同時還要注意到正弦函數和余弦函數的最值是±1.（2）已知角終邊上點的坐標，求角的三角函數值，首先要想到使用三角函數定義，同時還要注意角的范圍，必要時按象限進行討論.

2.同角三角函數的基本關系與誘導公式

小貼士 結合誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”，準確記住這些誘導公式是正確解答此類問題的前提.在利用誘導公式進行三角式的化簡、求值時，要注意正負號的選取.解此類題的常用技巧有：（1）弦切互化，減少或統一函數名;（2）“1”的代換，如：1=sin2α+cos2α（常用于解有關正、余弦齊次式的化簡求值問題），1一tanπ/4 等;（3）若式子中有角kπ/2，k∈Z，則先利用誘導公式化簡.

3.三角函數的圖象及變換

（1）求此函數解析式;

（2）分析一下該函數的圖象是如何通過y= sin x的圖象變換得來的.

4.三角函數的性質

（1）求f（x）的單調區間;

（2）若x∈[0， π/2]時，f（x）的最大值為4，求a的值;

（3）求f（x）取最大值時x的取值集合.

（2）因為0≤x≤π/2，所以π/6≤2x+π/6≤7π/6，所以-1/2≤sin（2x+π/6）≤1，

所以f（x）的最大值為2+a+l=4，所以a=1.

（3）當f（x）取最大值時，2x+π/6=π/6+2k兀，所以x=π/6十k兀，k∈Z.所以當f（x）取最大值時，x的取值集合是{x|x=π/6+k兀，k∈Z}.

小貼士 形如y= Asin（ωx+ω）+k單調區間求解策略：可以把“ωx+Φ”看成一個整體，代人正弦函數的相應區間求解，當ω為負數時，一般先用誘導公式把x的系數化為正數.

5.三角函數式的求值問題

（2）在△ABC中，3sin A+4cos B=6，4sin B+3cos A=1，求C的大小.

（2）兩式左右兩邊分別平方相加，得sin（A+B）=1/2，則sin c=sin[π- （A+B）]=1/2，所以C=π/6或C=5π/6.又3sin A=6-4cos B>2，得sinA>2/3>1/2，所以A>π/6，所以c<5/6π，故C=π/6·

小貼士 （1）給角求值：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角之間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題.（2）對于給值求角的問題，對角范圍的分析很重要，是防止出現增解的重要手段.（3）給值求值：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如α=（α+β）- β，2α=（α+β）+（α+β）等，有時通過把已知角（或所求角）換元，找到已知角與所求角的聯系也是很有效的辦法.

6.三角恒等變換的綜合應用

例6 已知函數f（x）=sin（π/2-sinx）sinx-√3cos2x.

（1）求.f（x）的最小正周期和最大值;

（2）討論f（x）在[π/6，2π/3]上的單調性. （2）當x∈[π/6，2π/3時，0≤2x-π/3≤兀，從而當0≤2x-π/3≤π/2，即π/6≤x≤5π/12時，f（x）單調遞增;當π/2≤2x-π/3≤π，即5π/12≤x≤2π/3時，f（x）單調遞減.

所以f（x）在[π/6，5π/12]上單調遞增，在[5π/12，2π/3]上單調遞減.

小貼士 對三角函數性質的考查主要涉及單調性、奇偶性、周期性等.解答時通常是先將函數簡化為形如f（x）=Asin（ωx+Φ）+B的形式，然后根據正弦函數的圖象與性質求解.

7.轉化與化歸思想

例7 已知|x|≤π/4，求函數f（x）=COS2x+ sinx的最小值.

解 y=f（x）=cos2x+sin x=sin2x+ sinx+1.令t=sinx，因為|x|≤π/4，所以-√2/2≤t≤√2/2.

所以當t=√2/2時，即x一-π/4時，f（x）有最小值，且最小值為1-√2/2.

小貼士 在求解形如y=Asin2 x+Bsin x+C的值域或最值時，常令t= sinx轉化為一元二次函數再求解，換元時需注意新變元的范圍.這體現了三角函數中的轉化與化歸的思想方法.