解決實際問題，數(shù)學(xué)建模顯身手

王修湯

一、為何需要數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對實際問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的一種素養(yǎng).主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)并提出問題，分析和建立模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.建模是一個動態(tài)的過程，要根據(jù)具體問題，在一定的條件假設(shè)下找出解決這個問題的數(shù)學(xué)框架（即模型），然后再求出這個數(shù)學(xué)模型的解.

事實上，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、定理和算法系統(tǒng)都可以稱之為數(shù)學(xué)模型，它是靜態(tài)的數(shù)學(xué)成果.例如，二次函數(shù)、冪函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、向量等都是數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問題或者實際問題都可以轉(zhuǎn)化為這些模型來解決.

簡言之，數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.

二、積累數(shù)學(xué)模型

既然一切數(shù)學(xué)概念、公式和定理都可以稱為數(shù)學(xué)模型，那么在平時的學(xué)習(xí)中就要善待這些概念、公式和定理，將課本中的概念、公式和定理尊稱為模范、楷模也不為過，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的底線.不僅如此，在平時學(xué)習(xí)中還要善于積累白己發(fā)現(xiàn)并建立的一些數(shù)學(xué)模型.多留意解題時發(fā)現(xiàn)的一些小結(jié)論、小公式和小技巧，并記錄下來備用，這對于解決新的數(shù)學(xué)問題一定大有裨益，這叫做“腹有詩書氣自華”.

例如在學(xué)習(xí)《必修1》中指數(shù)函數(shù)時，我們在課本上學(xué)過這樣一道例題：

某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期為x（x∈N*），本利和（本金加上利息）為y元.（復(fù)利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再計算下一期的利息）.

（1）試寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式;

（2）如果存入本金1 000元，每期利率為2.25%，試計算5期后本利和是多少？

首先抽象出復(fù)利計算利息下的本利和公式：y=a（1+r）x，然后要能類比到其他的增長率問題上，得到一個函數(shù)模型：如果原來的基礎(chǔ)數(shù)為a，平均增長率為p%，則關(guān)于時間x的總量y可表示為：y=a（1+p%）x.

進一步你還可以推導(dǎo)出單利計算利息下的本利和公式：y=a+xr（其中a為本金，r為利率，x為期數(shù)）.如果你是一個有心人，你就應(yīng)該記住這些公式，等到遇到以下兩個問題時，你就會利用已有的數(shù)學(xué)模型輕而易舉地拿下.

變題1 如果1年期儲蓄的月利率為1.65%，那么按照單利.將10 000元分別存1個月，2個月，3個月，…，12個月，所得的本利和依次為10 000+16.5，1O OOO+16.5×2，…，則第n個月所得的本利和為____.

變題2 某人年初投資10 000元，如果年收益是5%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末的本利和依次是：10 000×1.05，10 000×1.052，…，則第n年所得的本利和為______.

再如蘇教版必修4課本第71頁例4題目如下：如圖1，△OAB中，C為直線AB上一點，AC=λCB（λ≠-1）.求證：OC=OA+λOB/1+λ.

將結(jié)論改寫成OC=1/1+λOA+λ/1+λ·OB后，我們發(fā)現(xiàn)右邊系數(shù)之和為1.利用（1+λ）OC=OA+λOB，解得OA=-λOB +（1+λ）OC且OB=1+λ/λ-1/λOA≠O），它們的系數(shù)之和都為1.

于是我們可以得出一個模型：從點O出發(fā)的三個向量OA，OB，OC，則A，B，C三點共線？OC=AOA+bOB且a+b=1.

記住這個模型，可以解決很多向量問題.

三、建立數(shù)學(xué)模型

當(dāng)我們掌握了基本的簡單的數(shù)學(xué)知識之后，我們就可以利用所學(xué)的知識建立較復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型.

那么數(shù)學(xué)建模的步驟有哪些呢？

數(shù)學(xué)建模的過程一般包括以下六個步驟：提出問題、模型假設(shè)、建立模型、求解模型、檢驗結(jié)果、完善模型.

下面簡單介紹生活中兩類常用的數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們以后將會學(xué)習(xí)這些模型，學(xué)習(xí)時一定要注意研究模型的背景、形成的過程、應(yīng)用的范圍，并能夠在熟悉的實際情境中，模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)建模過程解決問題.

1.經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型

存款時，可以抽象出單利或復(fù)利模型;貸款時，可以抽象出等額本金付款模型;還有工廠生產(chǎn)與銷售問題的模型;企業(yè)的供求平衡方程等數(shù)學(xué)模型.

2.社會數(shù)學(xué)模型

有選舉模型，諸如席位分配問題、累積選舉方法中的選舉問題;還有人口模型，即人口增長的指數(shù)增長模型（x（t）=x0en）和阻滯增長模型（x（t）=xm/1+（xm/x0-1）e-rt）等等。

總之，學(xué)好課本中的所有數(shù)學(xué)模型，積累自己發(fā)現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)模型，通過觀察、分析、綜合和類比，利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)模型解決未知的數(shù)學(xué)問題，甚至是未知的數(shù)學(xué)模型，你，一定行！