數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

何軍

【摘? ? 要】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動的展開通常都是圍繞“數(shù)”和“形”這兩個(gè)基本內(nèi)容，其中“數(shù)”屬于代數(shù)范疇，而“形”屬于幾何范疇。在課堂教學(xué)中，教師通過將“數(shù)”與“形”相結(jié)合的方式來進(jìn)行教學(xué)，有助于給學(xué)生更加形象地展示代數(shù)和幾何中的一些復(fù)雜概念。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合? 幾何圖形? 代數(shù)問題? 函數(shù)

中圖分類號：G4? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2019.06.141

初中數(shù)學(xué)不同于小學(xué)數(shù)學(xué)，其內(nèi)容更多地圍繞最基本的函數(shù)和平面幾何展開。在此階段，學(xué)生雖然形成了初步的邏輯思維能力和抽象的理解能力，但這些能力還尚未成熟。這種思維特征要求教師在傳授中學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的過程中要層層遞進(jìn)，循序漸進(jìn)地展開教學(xué)活動。而“數(shù)形結(jié)合”這一思想恰恰是教師將深?yuàn)W概念簡單化地傳授給學(xué)生的重要方法，也是學(xué)生獨(dú)立完成課題練習(xí)的重要學(xué)習(xí)方法。

一、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的分類

（一）用幾何知識幫助解決代數(shù)問題

用幾何知識幫助解決代數(shù)問題的方式通常運(yùn)用于理解抽象概念、記憶復(fù)雜公式或者解決函數(shù)以及方程與不等式問題。作為一名初中數(shù)學(xué)教師，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們要巧妙地運(yùn)用幾何知識來為學(xué)生講解代數(shù)知識。

1.利用幾何知識理解復(fù)雜概念和公式。

初中的代數(shù)內(nèi)容仍舊屬于比較基礎(chǔ)的范圍，其研究對象一般是基礎(chǔ)的數(shù)的分類以及其代數(shù)運(yùn)算，如：“+”、“-”、“×”、“÷”、乘方、開方……然而，雖然這部分內(nèi)容研究的范圍比較基礎(chǔ)，但其計(jì)算強(qiáng)度卻在逐漸增大，概念的范疇也更加抽象繁瑣。許多基本的數(shù)學(xué)概念看似與幾何沒有任何關(guān)聯(lián)，但只有借助幾何圖形來進(jìn)行表達(dá)才能使學(xué)生理解得更加輕松。利用“數(shù)形結(jié)合”的思想來學(xué)習(xí)初中的代數(shù)，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)從難到易，由抽象到形象的過程。在初中數(shù)學(xué)中，教師通常利用數(shù)軸進(jìn)行數(shù)的大小以及數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，比如：利用數(shù)軸判斷-2，0，3，5之間的大小關(guān)系;利用數(shù)軸判斷互為相反數(shù)的幾組數(shù)有什么共同的特點(diǎn);利用數(shù)軸使學(xué)生明白絕對值“|X|”的幾何含義等等，此外，在初中數(shù)學(xué)關(guān)于平方差公式的教學(xué)、勾股定理公式的記憶與運(yùn)用常常也需要教師通過對圖形進(jìn)行分割求面積的方法來幫助學(xué)生進(jìn)行理解和記憶。

2.解決函數(shù)、方程以及不等式問題對于幾何知識的應(yīng)用。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”的運(yùn)用主要集中于函數(shù)、一元二次方程以及與之相關(guān)的不等式中。初中數(shù)學(xué)所涉及的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)以及作為函數(shù)“基石”的平面直角坐標(biāo)系是“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最優(yōu)良的代表。平面直角坐標(biāo)系將函數(shù)的變量“X”與函數(shù)值“Y”之間的動態(tài)關(guān)系更加直觀地描繪出來，是“數(shù)形結(jié)合”化繁為簡的核心作用的具體反映。在函數(shù)的教學(xué)過程中，學(xué)生一次函數(shù)的斜率、二次函數(shù)的最值和零點(diǎn)的理解都需要教師通過作圖的方式形象地向?qū)W生進(jìn)行講解。而在學(xué)習(xí)一元二次方程以及不等式的過程中，方程的根以及不等式成立時(shí)對應(yīng)的X的范圍都需要結(jié)合二次函數(shù)的圖像來進(jìn)行分析。這也為學(xué)生以后高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系以及更深層次的函數(shù)和方程打下思想基礎(chǔ)。

在函數(shù)與方程的結(jié)合性問題的探討過程中，我們一般是將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為是方程的實(shí)根數(shù)問題，而在一元二次方程Ax2+Bx+C=0的根的求解過程中，我們通常是將其轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞C二次函數(shù)y=Ax2+Bx+C與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。

（二）利用代數(shù)知識解決幾何問題

初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)安排已經(jīng)逐漸在向?qū)W生普及幾何問題代數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系的引入便是最典型的“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)方式。初中數(shù)學(xué)關(guān)于利用代數(shù)知識解決幾何問題的方法通常用于求解兩點(diǎn)之間線段的長度、求解兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)相交的圖像中一次函數(shù)的斜率或者反比例函數(shù)中的比例系數(shù)，比如：

這個(gè)題即是典型的利用代數(shù)來解決幾何問題的題型。利用兩個(gè)公共點(diǎn)來構(gòu)造一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求出比例系數(shù)。

（三）數(shù)形融合型結(jié)題

關(guān)于“數(shù)”與“形”相互融合，輔助結(jié)題的思想在初中數(shù)學(xué)僅僅體現(xiàn)在圓的方程和幾何概型兩方面，也只是做到了初步運(yùn)用?！皵?shù)形融合”型的思想更多的是體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的部分，在這里也就不多加贅述。

二、“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)法的優(yōu)勢

隨著“新課改”的推行，初中數(shù)學(xué)新課程的設(shè)置體現(xiàn)了教育者們對于教師和學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識的強(qiáng)烈重視。與以往版本初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容安排相比，新教材的編纂更加滲透著對于數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)注。對于初中階段的學(xué)生而言，將“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用于課堂教學(xué)是適應(yīng)他們心理特征的教學(xué)手段之一。對學(xué)生而言，在課堂教學(xué)中進(jìn)行圖形的演示能夠凝聚學(xué)生的注意力，增加學(xué)生對于深?yuàn)W知識學(xué)習(xí)的興趣。運(yùn)用圖形進(jìn)行講解和分析能使看似復(fù)雜的概念變得簡單易懂，學(xué)生能輕松發(fā)現(xiàn)復(fù)雜問題下的簡單規(guī)律，在學(xué)習(xí)的過程中也能使學(xué)生在無形中增添對于自己數(shù)學(xué)問題有效分析能力的信心。再者，教師在使用圖形對知識進(jìn)行挖掘的過程中，常常涉及到許多非專業(yè)或?qū)I(yè)的背景知識，這些背景知識的普及不僅能夠活躍課堂的學(xué)習(xí)氛圍，也能開闊學(xué)生的視野，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的目的。

對初中數(shù)學(xué)教師而言，隨著多媒體技術(shù)和計(jì)算機(jī)教學(xué)的普及和不斷優(yōu)化，運(yùn)用幾何圖形對新知識進(jìn)行剖析和演示實(shí)驗(yàn)也越來越便利。將“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，在一定程度上減輕了傳統(tǒng)講解法帶給課堂的枯燥感，使教師在節(jié)約課堂時(shí)間的同時(shí)也提高了教學(xué)質(zhì)量，留給學(xué)生更多的時(shí)間去進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和練習(xí)。不僅如此，教師在設(shè)計(jì)與“數(shù)形結(jié)合”相關(guān)的課題教案時(shí)，需要對教學(xué)課件進(jìn)行精心制作，這不僅鍛煉了教師的教學(xué)設(shè)計(jì)能力，也使教師更加熟練的操作相關(guān)計(jì)算機(jī)演示軟件，并及時(shí)更新相關(guān)的計(jì)算機(jī)教學(xué)技術(shù)相關(guān)專業(yè)知識，從教育技術(shù)的角度來看，有助于教師專業(yè)知識的“升華”。

三、結(jié)束語

總而言之，“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用解決了初中數(shù)學(xué)課程中對于學(xué)生來說過于抽象的數(shù)學(xué)知識，達(dá)到了“化繁為簡”的作用，體現(xiàn)了抽象概念與具體概念的高度結(jié)合，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)最主要的數(shù)學(xué)思想方法之一，也為學(xué)生學(xué)習(xí)高中更加抽象的數(shù)學(xué)知識打下了基礎(chǔ)。在“新課改”的指導(dǎo)下，教師需要結(jié)合教材內(nèi)容與學(xué)生對知識的實(shí)際接受能力，合理選擇方案進(jìn)行教學(xué)，要有意識地結(jié)合抽象概念與具體圖形展開教學(xué)活動，以提高學(xué)生解決抽象問題的能力。