利用二次曲線系求解一類高中圓錐曲線問題

方禮喆

摘要：利用曲線系解題實質(zhì)上是取曲線方程中的特征量（如直線方程中的斜率 ，截距 ，圓的半徑 有心曲線中的 等）作為變量，得到曲線系，根據(jù)所給的已知量，采用待定系數(shù)法，達到解決問題的目的.常常體現(xiàn)的是參數(shù)變換的數(shù)學觀點和整體處理的解題策略.通常的題型有求點的坐標、求曲線的方程、求圖形的性質(zhì)等等.

關鍵詞：二次曲線系；四點共圓；圓系；定點問題

圓錐曲線是高中數(shù)學解析幾何的重中之重，作為必考題的倒數(shù)第二題，難度也是整張高考數(shù)學試卷中最難的題目之一，如何又快又好地解出這道題無疑是學生所追求的，下給出一種利用二次曲線系的解法。

結(jié)論1：設

則方程 表示兩條直線 上的所有點

結(jié)論2：一般地，設兩條二次曲線的方程分別為 那么過這兩條二次曲線交點的二次曲線系為

其中 為參數(shù).

一、簡化運算

圓錐曲線的大題，往往需要聯(lián)立直線與圓錐曲線方程表示交點坐標，再結(jié)合韋達定理求解，而這一過程的計算量通常不小，而且也容易算錯。而二次曲線系的解法就避免了這樣繁雜的運算。

例1.（2010·江蘇）在平面直角坐標系 中，如圖， 的左右頂點為 右焦點為 設過 的直線 分別交橢圓于 其中 求證：直線 必過定點.

解： ，

設

它們都是過 四點的二次曲線，令兩者一致， 與 系數(shù)之比為

，得

所以 過定點

二、轉(zhuǎn)化條件

利用二次曲線系解題是一種從宏觀層面對圖形定性的解題方法，他能在我們無法通過平常套路轉(zhuǎn)化條件時達到出其不意，奇招制勝的效果

例2. 與 交于 過 的圓交拋物線于 求 夾角.

解：設 則 ： 那么該圓的方程可以表示為

由于圓的方程中 項系數(shù)為0，有

， 所以 的斜率 ，夾角

點評：對于圓，我們通常利用直徑對應的圓周角為直角；半徑處處相等等性質(zhì)對條件進行轉(zhuǎn)化，而此題中圓的圓心、半徑都很難尋找，轉(zhuǎn)化條件十分困難。因此我們直接利用圓的方程中 項系數(shù)為0的特征，在過 四點的二次曲線系中直接找出唯一的圓，再反回去求解關于 直線的信息。這種解題方法與我們平時的做法從思維方式上來看相差甚遠，因而有巧奪天工的感覺。

例3.（2014·全國大綱卷）已知拋物線 的焦點為 ，過 的直線 與 相交于 兩點，若 的垂直平分線 與 相交于 兩點，且 四點在同一圓上，求 的方程.

解：已知 設

由 得

有 ∴ 中點的縱坐標為

計算得中點的坐標為：

則

即

既在拋物線上，也在雙直線 上，那么過四點的圓的方程滿足

由① 項與 項系數(shù)相等② 項系數(shù)為0

得 ， 解得

三、一個特殊例子

例4.在直角坐標系 中，二次函數(shù) 的圖像與 軸交于 兩點，點 的坐標為 當 變化時，過 三點的圓在 軸上截得的弦長是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

解：對于 ，他們是 軸與拋物線的交點，故對于任意過 兩點的曲線的方程，當 時， 必有兩根為方程 的根.那么由圓的方程的特征，設過A、B的圓系為 其中 為參數(shù)

∵該圓還過 ∴ ，則過 的圓為

為參數(shù)

令 得 ，弦長即為

點評：之所以說這個題是一個“特殊例子”，是因為它的解法中沒有前面幾個題中將兩個二次曲線線性結(jié)合得到一個二次曲線系，而是根據(jù)題目所給條件直接調(diào)制出了圓的方程，再通過余下條件求得參數(shù)。雖然能這樣做的題少之又少，但是此解法也能體現(xiàn)二次曲線系整體變換的核心思想，值得我們學習。