折紙與數學

趙義平

摘要：基礎教育課程改革的目標：強調形成積極主動的學習態度；關注學生的學習興趣和經驗；倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力……基于此，新課改的教科書中逐步增加了觀察、探究、思考等內容，并把折紙作為數學學習的一種方法納入到數學教學、學生探究中。折紙讓數學變得直觀形象，而數學又為折紙提供了理論依據，數學與折紙密不可分。

關鍵詞：折紙；數學；方法；幾何概念

引言：

著名教育家陶行知先生在一次演講中做過這樣一個實驗：他按住公雞的頭，強迫它吃米，雞只叫不吃；掰開雞的嘴，把米硬往雞嘴里灌，大公雞還是不肯吃。陶先生松開手，自己后退了幾步，公雞就自己吃起米來。這時陶先生開始演講；“我認為，教育就跟喂雞一樣！強迫學生去學習，他是不情愿學的，即使學也是食而不化。但是，如果讓他自由地學習，那效果將一定會好得多！”臺下一片掌聲。陶先生一語道破了有效學習的方法。

一、如何有效地調動學生的積極性，讓學生自覺主動學習，成為今天課改的主題。基于此，新的教科書逐步增加了觀察、探究、思考等內容。折紙這種讓學生既動手又動腦、讓學生親身經歷積極參與問題的思考和分析的過程作為一種方法提了出來。立體圖形的平面展開圖，線段的比較，如何找線段的中點、角的平分線等都可以通過折紙的方法直觀表現出來。折紙的應用不容小視。

荷蘭數學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，教學過程應該是幫助學生把現實轉化成數學問題的過程”?！稊祵W課程標準》也指出：“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將現實問題抽象成數學模型并解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解……?！闭奂堈菨M足了這種要求，為學生提供了真實的問題情景，通過學生的親身經歷，很容易找到問題的解決方法。

二、通常的折紙從正方形折起， 一個正方形變形為一個盒子；變形為一只鳥；變形為一座寶塔；變形為一個花籃……。在創作折紙圖形時，折紙能手是由一張正方形的紙開始的，然后運用他們的想象、技巧和決心，變形為任意的形狀。一個正方形之所以可以選為折紙的初始單元，現在分析起來是因為與矩形和其他四邊形相比，它有四條對稱軸；而雖然圓和有些正多邊形有更多的對稱軸，但它們又缺少正方形所擁有的直角，這就使制作上造成了較大的困難。 折紙的對象被創造出來后，留在正方形紙張上的折痕，表現出以下的數學概念：相似、軸對稱、中心對稱、全等、相似比、比例、以及類似于幾何分形結構的迭代（在圖案內不斷地重復圖案）。 數學寓于折紙之中，不管折紙人的身份如何，對數學的了解總然會在折紙中增加人們的能力和創造力。

三、初中數學的圖形重點以平面圖形為主，輔以部分立體圖形。其中一些定理的證明就用到了折紙法，最明顯的例子就是三角形內角和的證明。如何把不在同一個的三角形的三個內角放在一起就成了本定理證明討論的重點，其中首選是平移法；通過做平行線，把三個內角合在一起正好組成了一個平角來證明。也可利用折紙的方法，把三角形的三個內角沿某條對邊折疊起來，很明顯地構成一個平角，這種方法既簡單又通俗，學生還特別容易理解。而對于軸對稱和中心對稱圖形來說，折紙的優勢更是顯而易見的。因此教師在教學中如果能很好地應用好折紙這種方法，許多內容的傳授是簡單易行的。要想使學生能夠真正掌握數學知識并解決實際問題，教師就必須要引導學生去親歷知識發生、發展的過程，領會比教材本身更多的數學。

如題：點M.N為矩形ABCD一組對邊的中點，將矩形的一角向內折疊，使點B落在直線MN上，得到落點Bˊ和折痕AE，并延長EBˊ交AD于點F，猜想，ΔAEF是什麼三角形？并證明你的結論。通過學生親手折疊，我們很容易發現，點B和點Bˊ關于直線AE軸對稱，若連接ABˊ，則ABˊ垂直平分EF，ΔAEF為等腰三角形，再加上∠BAE=∠EABˊ，所以ΔAEF為等邊三角形。通過折疊，發現折痕ABˊ，也就找到了本題的關鍵所在。

又如2003年天津市一道中考試題：在ΔABC中，已知AB等于2a，∠A等于30度，CD是AB邊的中線，若將ΔABC沿CD對折起來，折疊后兩個小ΔACD與BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前ΔABC的面積的四分之一，有如下結論：（1）AC邊的長可以是a；（2）折疊前的ΔABC的面積可以等于 （3）折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等。其中，正確結論的個數是（ ）。

（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個

此題常見有兩種解法，答案為D。難度系數為0.18，屬于難題。本題通過幾何圖形的折疊問題，考查了學生在基本圖形的運動、變化過程中，通過觀察、分析、比較、判斷、推理等思維活動，尋求幾何基本元素及其關系的能力，同時也考查了分情況討論的思想方法。小小的折疊考查出了學生好多的思維方法。

結語

折紙的應用不僅限于此，人們開始用一個紙（二維物體）來折一個形體（三維物體）或由扇形來折一個圓錐。如果折出新的東西，那么折紙的人就把這個形體攤開，并研究留在正方形紙上的折痕。這個過程明顯地反映出空間中維數的變動。另外研究折紙的創作過程也極具啟發性。這與新課程強調的體驗性學習不謀而合。讓學生在學習過程中用自己的身體去親身經歷，用自己的心靈去感悟學習，重視學生的直接經驗，鼓勵學生對教科書的自我解讀，自我理解，尊重學生的個人感受和獨特見解，進而促進學生的全面發展，這不僅是理解知識的需要，更是激發學生生命活力、促進學生成長的需要。實驗證明，折紙用在今天的數學學習中的確能起到事半功倍的作用。折紙使得數學問題更加直觀形象，同時數學又為折紙的內容提供了豐富的內涵，數學與折紙密不可分。

參考文獻：

[1]《走進新課程》朱慕菊主編.北京師范大學出版.

[2]《2005數學中考解析》天津市教育招生考試院主編.天津人民出版社.