教學中如何關注學生的思維進程

江顯清

在提出“怎樣計算平行四邊形的面積”這一問題后，教師讓學生盡情猜想，然后動手驗證（課前學生自己剪的平行四邊形紙片，上畫沒有方格、也沒有標上高）。

匯報時——

生1：我認為平行四邊形面積的計算方法是用底高。（然后介紹了自己的驗證方法：沿著平行四邊形中間的一條高，將平行四邊形剪拼成長方形……）

生2：我也認為平行四邊形面積的計算方法是用底東高。（然后介紹了他的驗證方法：沿著平行四邊形上邊端點引的一條高，將平行四邊形剪拼成長方形……）

生3：我沒能猜出平行四邊形面積的計算方法，我是這樣來求的——他將平行四邊形紙片剪成兩個直角三角形和一個長方形，然后將兩個直角三角形拼成一個長方形…）

生4：我覺得平行四邊形的面積是用長乘寬。因為平行四邊形容易變形，可以轉化成長方形。

......

學生展示究后，教師引導學生們一一評價，著重解決第一

二、三種方法有什么相同點，為什么都要沿著高剪。

在評價第四種方法時，教師說：“這位同學提出了一個十分有價值的問題！請這位同學再說說是怎么想的。”

生4：我用四支鉛筆搭成一個長方形，再輕輕一推就成了一個平行四邊形。長方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積也是長乘寬。

師：非常感謝這位同學！他大膽地猜想平行四邊形的面積是相鄰的這兩條邊的乘積。（發言的同學滿臉自豪）現在，同意的請舉手，不同意的請舉手。（同意的只有五位，絕大多數不同意）哪位來說說為什么不同意？

生5：（指著圖）鐘過來以后，這條邊短了。（看得出同學們沒有認可）

師：現在我來解決這個問題，可以嗎？（拿出一個可以活動的平行四邊形框架）這四條邊的長度沒法改變。它的面積是相鄰的這兩條邊的乘積嗎？（說“是”的比原先多了）平行四邊形容易變形，（拉動后）面積變了嗎？能用相鄰的兩條邊長度相乘嗎？（學生在思考）

生4：華老師，我能借用一下您的平行四邊形嗎？

師：可以可以！

生4：（快步上前，將平行四邊形框架反方向拉成一個長方形）這樣就能用相鄰的兩條邊相！（同學們和聽課的老師都笑了）

師：贊成用相鄰兩條邊的長度相乘的，請舉手。（絕大多數學生舉手了）非常好！他找了個“行”的例子。那你再看呢？（順著他的方向，教師鯕拉動平行四邊形框架，直到幾乎重合）

生6：我發現問題了！兩條邊長度沒變，乘積也就不變，可是面積變了。（認為“行”的學生也不說話了）

教師看時機已到，于是總結說：“前三種方法，是通過剪拼，將平行四邊形轉化成了長方形，面積有沒有變？（生齊：沒有。）第四種方法是將平行四邊形拉成了長方形，面積有沒有變？（生齊變了。）兩者都是轉化成了長方形，但我們是要計算原平行四邊形的面積，轉化以后的面積能不能變？（生齊：不能。）

忽然，生4喊了起來：“華老師，您誤導！”

全場大笑。

教師更是開懷大笑。

在笑聲中教師對生4說：“你說得太好了！不過，我不是誤導，而是導誤！并且，你的想法是有道理的。你的想法啟發了大家，計算平行四邊形的面積并不一定要用底來高，用相鄰兩條邊的長度相乘再乘上一個變動的量就可以了，那是將來到高中就要學到的！”

按照建構主義理論，在新的學習中，學習者通常基于以往的經驗去推出合平邏輯的假設，新知識是以已有的知識經驗為生長點而“生長”起來的。學生在學習平行四邊形的面積計算之前，僅僅學習過長方形和正方形的面積計算，而長方形和正方形的面積實質上都是用相鄰兩條邊的長度的乘積來計算的。這就是學生的已有知識經驗。所以在探求平行四邊形面積計算方法時，學生想到用相鄰兩條邊長度的乘積來計算，完全是一種合情推理，是自然而真實的想法。

從生4的前兩次回答可知，他是沿著“平行四邊形容易變形，

可以把它拉成長方形，長方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積也是長乘寬”這個思路去想的。生4的思路得出了錯誤的結論，其他同學的剪拼思路得出了正確結論，那么二者的實質區別在哪里？生4的思路隱含的假設是：平行四邊形在變形中，面積不變。生5的回答表明他認為，平行四邊形在拉動變形中，邊長有了變化，所以他不同意生4的看法。生5的想法隱含的假設是兩個平行四邊形在拉動變形中，邊長變了;因為邊長變了，所以面積也變了。生5認為平行四邊形在拉動變形中，邊長變了，這一觀點顯然是錯誤的，因而沒有得到同學們的認可。生5用錯誤的理由來否定生4的觀點，說明了反對生4觀點的同學他們的理解也并不全都是正確的。這是在表面正確下所隱藏的錯誤，如果沒有暴露出來，教師很難發現。

在教師引導學生糾正錯誤的過程中，有幾個關鍵點值得關注和思考：一是當教師拿出可以活動的平行四邊形框架后，要學生思考這四條邊的長度沒法改變。它的面積是相鄰的這兩條邊的乘積嗎”時，說“是”的同學反倒比原先多了。為什么會增加？新增加的這些人是怎樣想的？新增加的這些人他們原先認為不能用相鄰兩條邊的乘積來計算平行四邊形的面積，現在認為能，是什么促使他們改變了觀點？是因為此時他們認識到平行四邊形框架在拉動變形中邊的長度不變。這說明他們還有這樣一個沒有明確表達出來的觀點平行四邊形的邊長不變，面積也就不變。那么，新增加的這些人原來認為平行四邊形在拉動變形中邊的長度變還是不變？合乎邏輯的推論只能和生5一樣，認為會變的。可見，生5的想法不是奇特的孤立現象。

二是當教師拉動平行四邊形框架使它發生變形后問學生：“面積變了嗎？能用相鄰的兩條邊長度相乘嗎”時，絕大多數學生并沒有像起初那樣堅定地表示不能用相鄰的兩條邊長度相乘來計算平行四邊形的面積，而是陷入了思考。這種思考也反映了一種猶豫或疑惑，此時學生明確知道，邊的長度沒有變化，他們的疑惑一定是不能確定在拉動變形中平行四邊形的面積變了沒有：說沒變吧，似乎直觀看到有變化;說有變化吧，又與自己已有的想法（邊長不變，面積也不變）相矛盾。可見對于小學生來說，在初步知道平行四邊形面積等于底乘高的條件下，即使知道下面兩個平行四邊形的邊長對應相等，學生仍不容易斷定左邊平行四邊形的面積大于右邊平行四邊形的面積。

三是當生4將平行四邊形框架反方向拉成一個長方形，并說“這樣就能用相鄰的兩條邊相乘”后，絕大多數學生都舉手贊成用相鄰兩條邊的長度相乘來求平行四邊形的面積。這是一個令人驚奇的現象，又是一個真實的現象：絕大多數學生竟然從正確倒向了錯誤！生4提供的例子，是學生確認的長方形面積的計算方法，此時又和他們已有的“邊長不變，面積也不變”的錯誤想法聯系了起來，所以他們走出了剛才的疑惑和猶豫，做出了他們認為正確但實際錯誤的決定。雖然前邊學生已經發現平行四邊形面積的計算方法是用底乘高，但此時沒有學生發現在平行四邊形的拉動變形中，邊長沒變，從而底沒變，但高變了，從而面積也變了。這說明學生先前的正確認識還不夠清晰鞏固，處于一個比較低的層次，容易受到錯誤信息的干擾，還不足以發現“用底乘高求平行四邊形的面積”與“用相鄰兩條邊的長度相乘求平行四邊形的面積”之間的矛盾。可見正確建構并不容易，一帆風順的建構也可能是膚淺的建構。正所謂“正確，可能只是一種模仿;錯誤，卻絕對是一種經歷”。

為什么生4會產生這樣的想法？這既與他獨特的思路有關，還與他自主選取的與其他學生不同的驗證手段有關。生4是拉動能變形的平行四邊形，其他學生則是剪拼平行四邊形紙片。平行四邊形紙片在剪拼中形狀在變，面積不變;平行四邊形在拉動變形中雖然邊長不變，但面積卻變了，而且這種變化學生不易察覺。面積變還不是困難的實質所在，實質是對小學生來說，不能確定變化前后平行四邊形的面積之間有什么關系。

總結以上可知，生4的思路與其他同學的思路的實質區別是：后者是等積變形，前者是不等積變形，而且是不能確定變形前后面積之間倍數關系的不等積變形，因此是錯誤的。（由此也可推知，在為了求面積（或體積、周長）而進行的轉化變形中，我們最希望的是等積變形，其次是能確定變形前后面積（或體積、周長）之間倍數關系的不等積變形。）

鄭毓信先生說過：現代教學思想的一個重要觀點，就是認為學生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復的練習得到糾正，而必須是一個“自我否定”的過程。又由于所說的“自我否定”是以“自我反省”，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提的，因此為了有效地幫助學生糾正錯誤，教師就應十分注意如何提供（或者說創造）適當的外部環境來促進學生的“自我反省”和“觀念沖突”。

促進學生的“自我反省”和“觀念沖突”實際就是促進學生思維的充分參與，促進學生的有效建構。教師要創造適當的外部環境來促進學生的“自我反省”和“觀念沖突”，就必須關注學生真實的思維過程，準確把握學生原有的內在觀念。也只有這樣，教師創設的外部環境才能具有針對性，觀念的沖突才是真槍實彈的，新知識意義的建構和原有認知結構的改組才能是有效的。在本案例中，正是由于教師準確把握了學生原有的觀念一一邊長不變，面積也就不變，所以當教師繼續拉動平行四邊形框架，直到幾乎重合時邊長還沒變，但面積已經小得無法否認它的變化了，新的無可駁的事實與學生的原有觀念產生了激烈的沖突，學生思想上的“自我否定”實現了，他們的錯誤得到了徹底糾正，新知識意義的建構和原有認知結構的改組得到了有效實現。