凸透鏡成像規(guī)律的代數(shù)研究

王祉鑒

我記得初二剛學(xué)凸透鏡成像時，我們班的一位同學(xué)告訴我，她在課外習(xí)題中看到這么一個結(jié)論，說凸透鏡成實(shí)像時，物距與像距的倒數(shù)和等于焦距的倒數(shù)（即 ）.我當(dāng)時就試圖過去證明這個結(jié)論，但發(fā)現(xiàn)無從下手.我就暫且將它放在了一邊.

到初三后，進(jìn)行第一輪復(fù)習(xí).當(dāng)復(fù)習(xí)到凸透鏡成像規(guī)律這一塊時，我又想起了這個問題.我決定證明它.

本著從特殊到一般的思想，我決定將物體在凸透鏡的兩倍焦點(diǎn)上時成倒立等大的實(shí)像這個特殊的成像規(guī)律代入式子驗證一下，發(fā)現(xiàn)：當(dāng) 時，

滿足 的結(jié)論.

但這畢竟是特殊情況，不具有普遍性.所以我開始研究一般情況下物距、像距和焦距是否滿足這個式子.然而，我仍然沒有什么思路。

有一次，我在閱讀數(shù)學(xué)讀物時，看到這么一句話，說數(shù)學(xué)是解決自然科學(xué)問題的關(guān)鍵.我感到非常贊同.我想，我為什么不從數(shù)學(xué)的角度去看待這個問題呢？

經(jīng)過分析，我終于找到了一種證明方法.這里，我用到了我們物理老師封老師教給我們的一種光學(xué)作圖法.這種方法假設(shè)物體高度為凸透鏡的一半，再經(jīng)過光折射的規(guī)律找到像的位置（如圖1）.

果然，物距、像距和焦距是滿足這個關(guān)系的.

由于光折射時，光路是可逆的，所以當(dāng)物體在兩倍焦點(diǎn)之外時，上述關(guān)系依然成立，這里就不再證明了.

后來，我又想到，在凸透鏡成實(shí)像時，這個關(guān)系成立，那么當(dāng)物體在一倍焦距內(nèi)，即當(dāng)凸透鏡成虛像時，這個關(guān)系成不成立呢？

我用類似的方法作了圖，并探究出了結(jié)論（如圖2）.

得到的結(jié)論是 ，這與成實(shí)像時的規(guī)律居然完全不同，真是令人驚訝.

綜上所述，當(dāng)凸透鏡成實(shí)像時，物距與像距的倒數(shù)和等于焦距的倒數(shù)，即 ;當(dāng)凸透鏡成虛像時，物距與像距的倒數(shù)差等于焦距的倒數(shù)，即 .

當(dāng)我們得到了一個初步的結(jié)論時，不能隨意將它推廣到其他情況上去;只有進(jìn)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C的結(jié)論才是最具有說服力的.