中學生數學思維品質發展的心理學研究及其對教學的啟示

繆婷章 喻平

摘要：思維品質是指個體在思維活動中智力特征的表現，主要包括深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性五個方面。心理學對中學生數學思維品質的發展展開了比較深入的研究。將這些研究中的實驗干預因素或結論應用于數學教學，可以得到的教學策略有：變式教學，培養思維的靈活性;開放式教學，培養思維的深刻性;自主提問，培養思維的獨創性。

關鍵詞：數學思維品質變式教學開放式教學自主提問

新課程改革提出了以培養學生核心素養為導向的教學目標。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學學科的核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現。因此，學生數學思維品質的發展與數學核心素養的發展密切相關。而心理學對數學思維品質做過不少研究，本文重點對一些關于中學生的研究做簡單介紹，并將其結果應用到教學中。

一、心理學對思維品質的認識

思維品質，又稱思維的智力品質，是指個體在思維活動中智力特征的表現，主要包括深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性五個方面，它們相互促進、共同發展，同時也有各自獨特的規律和特征。

思維的深刻性是指思維活動的廣度、深度和難度。一個人的思維是深刻的，是指他在智力活動中，能夠深入地思考問題;善于概括歸類，邏輯思維能力強;善于透過現象抓住事物的本質和規律，開展系統的理解活動;善于預見事物發展的進程。顯然，研究思維的深刻性主要應當從概括能力和邏輯推理能力兩個方面進行。

思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，包括思維起點靈活、思維過程靈活、概括—遷移靈活、組合—分析靈活。判斷一個人思維靈活性的強弱，不僅要考察他是否善于舉一反三、運用自如，還要看他能否靈活地綜合分析問題和解決問題。

思維的獨創性是指個體在思維活動中的創新精神或創造性特征。在實踐中，除了善于發現問題之外，更重要的是能夠創造性地解決問題。獨創性的實質在于能夠對知識經驗或思維材料進行高度概括后實現集中而系統的遷移，進行新的組合分析，建立新的層次結構。

思維的批判性是指個體在思維活動中進行獨立分析和批判的程度，它是思維活動中嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的智力品質。它的實質是思維過程中自我意識作用的結果，與自我反思、自我監控以及元認知等要素交融互補、交叉重疊。

思維的敏捷性是指個體思維活動的速度，表現為一種迅速而正確的特征，它反映了智力的敏銳程度。研究思維的敏捷性主要應當從思考問題時的速度和準確度兩個方面進行。

顯然，正如道德品質可以衡量一個人道德水準的高低一樣，思維品質反映的是一個人思維質量的高低，它直接影響人的認知水平。

二、心理學對中學生數學思維品質發展的研究

林崇德通過測量發現，隨著年級的增高，小學生思維的靈活性、深刻性、獨創性都在逐漸增強，其中，思維的靈活性在各年級之間沒有顯著差異，三、四年級是思維深刻性和獨創性發展的一個轉折點;隨著年級的增高，中學生思維的靈活性、深刻性、獨創性、批判性都在逐漸增強，其中，思維的靈活性發展到高中一年級趨于穩定，初中三年級是思維深刻性發展的關鍵期，思維的獨創性在整個中學階段發展得還不夠成熟，高中生思維的批判性比初中生更加成熟。

林崇德還對中學生思維品質的培養做了針對性的實驗研究。在思維靈活性培養的實驗中，其干預手段是進行發散思維的訓練，引導學生從不同角度、不同方向思考問題，用多種方法解決問題。在思維深刻性培養的實驗中，其干預手段是加強數學思想方法的滲透，著重訓練學生的抽象概括能力和邏輯推理能力。在思維獨創性培養的實驗中，其干預手段是鼓勵學生自己編制題目，提倡用獨特的方法解決問題。在思維批判性培養的實驗中，其干預手段是進行自我監控的訓練，使學生養成反思的意識。

其實，讓學生自己編制題目，也會對其他思維品質的發展產生促進作用。曹瑞珍通過讓實驗班的學生從模仿編題、變式編題、限制條件編題、以舊帶新編題四個層次開展編題活動，發現實驗班的學生對知識的理解比對照班的學生更為透徹。可見，自己編制題目促進了學生思維品質的發展。

而且，對學生進行元認知的訓練，也會對其他思維品質的發展產生促進作用。董奇在閱讀教學的研究中，有目的、有計劃地豐富學生的各種閱讀元認知知識，并在學生閱讀的過程中，注意培養他們的元認知監控能力。經過一學期的干預，對學生思維品質的測試結果顯示：實驗組前測與后測分數存在顯著差異，實驗組與控制組后測分數存在顯著差異，從而可以推斷元認知與思維品質存在因果關系。因此，加強元認知的訓練是提高學生思維品質的突破口。于文華和喻平做了類似的研究：對高三年級四個班的學生進行數學學科自我監控能力和數學思維品質的測量，以數學學業成績為因變量，結果發現，自我監控能力、思維品質以及學業成績存在高相關關系;再用結構方程模型進行分析，發現自我監控能力通過思維品質這一中介變量作用于學業成績。這項研究不僅說明了自我監控能力對思維品質和學業成績有影響，而且說明了思維品質對學業成績有影響。因此，發展學生數學思維品質的重要性也顯現了出來。

當然，影響數學思維品質的因素還有很多。李明振通過對初一、初三、高二各兩個班的學生進行數學思維靈活性測驗和鑲嵌圖形測驗，結果發現，不同認知方式學生的思維靈活性不同，場獨立水平高的學生具有高靈活性。他接著研究了氣質與數學思維品質的關系：通過對初二學生進行氣質量表和數學思維品質策略問卷的測量，分析發現，學生的氣質類型與數學思維品質也具有一定的相關性。

情緒對思維品質也會產生影響。Vosburg對88名藝術和心理學專業的學生用形容詞清單測量情緒，以現實生活中的發散思維任務為因變量，對思維的獨創性進行評分，研究發現，自然、積極的情緒對任務績效有顯著促進作用，消極的情緒對任務績效有抑制作用。因此，積極的情緒有助于思維獨創性的發展。

此外，秦向榮和喻平對數學思維的靈活性與深刻性做了研究。通過對照實驗，對實驗組的學生采用四種教學策略——（1）問題鏈教學：以問題為主線，以“發現問題—解決問題—再發現問題”為過程，不斷產生問題鏈。（2）拋錨式教學：圍繞某一“錨”（某種類型的個案研究或問題情境），設計學習與教學活動，引導學生對教學內容進行探索。（3）分層教學：針對不同層次的學生提出相應水平的問題，同時鼓勵不同層次的學生向更高層次發展。（4）建構知識網絡圖式教學：把概念圖和思維圖引入教學，幫助學生建構知識網絡。結果發現，實驗班學生與對照班學生在數學思維的靈活性、深刻性方面存在顯著差異，實驗班學生的這兩種思維品質得到了較好的發展。

三、對中學數學教學的啟示

上述心理學研究，為在中學數學教學中培養學生的數學思維品質提供了可以借鑒的參考線索。

（一）變式教學：培養思維的靈活性

思維的靈活性意味著思維是多向的，不能固守一條思維鏈，要能夠根據問題的性質靈活地從一個思考方向轉向另一個思考方向。上述心理學研究表明，訓練學生的發散思維能力，是培養思維靈活性的一種有效策略，諸如一題多解、一題多變等，都是具體的手段。事實上，將這些教學手段做進一步概括，它們指向的就是變式教學。

顧泠沅認為，變式教學可以分為概念性變式和過程性變式兩種。概念性變式是指用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出本質特征，讓學生理解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，從而對一類事物形成科學概念。過程性變式是指在數學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗。過程性變式主要應用于概念的形成、數學對象和背景的轉換、數學命題的形成、數學問題的解決四種過程。顯然，概念性變式主要是幫助學生理解一個概念本質屬性的教學方式，是圍繞一個概念理解的教學方式;過程性變式主要是將概念形成和問題解決的過程分解為一系列子過程，從而幫助學生形成概念和解決問題。

我們認為，“變式”應當有更加廣泛的含義，不能局限于單個概念的理解或單個問題的解決，還應包括從一個概念通過變式生成多個概念，由一個命題通過變式生成多個命題。變式教學就是設計恰當的問題情境，提供概念或命題可能會如何變式的誘因，引導學生主動探究，發現新概念或新命題的過程。一般說來，對概念或命題的變式，可以通過改變命題的條件、變化圖形的位置、設置不同的情境等方式來實現。

【案例1】“函數的周期性”變式教學

啟發引導1函數周期性定義中的條件是什么？能否把條件做一些變化？

變式1若函數f（x）滿足f（x+a）=-f（x）（a≠0），f（x）是周期函數嗎？

變式2若函數f（x）滿足f（x+a）=±1f（x）（a≠0），f（x）是周期函數嗎？

啟發引導2還能進一步改變條件嗎？如果改變了條件，發現它不再是周期函數了，你能否采用添加條件的辦法，使它變為周期函數？

變式3若函數f（x）滿足f（x+a）=f（x-a）（a≠0），f（x）是周期函數嗎？

變式4若函數f（x）滿足f（x+a）=f（a-x）（a≠0），且f（x）為奇函數，f（x）是周期函數嗎？

啟發引導3剛才我們是從改變定義的條件去思考的，現在從圖像來分析，你能得到什么猜想？

變式5若函數f（x）的圖像關于直線x=a和直線x=b（a≠b）對稱，f（x）是周期函數嗎？

變式6若函數f（x）的圖像關于點（a，0）和點（b，0）（a≠b）對稱，f（x）是周期函數嗎？

這樣的教學設計不僅可以在知識教學的過程中培養學生思維的靈活性，而且能夠在習得知識之后培養學生解決問題的靈活性。因為通過這種學習方式，學生頭腦中形成了函數周期性概念的體系，從而能夠應對涉及函數周期性的不同問題的解決。

（二）開放式教學：培養思維的深刻性

開放式教學是指設計一種“情境開放”“問題開放”或“方法開放”的環境來組織教學的方式。情境開放，可以讓學生從不同的角度觀察，從而提出不同的問題;問題開放主要指結論的開放，可以讓學生根據自己的能力得到難度不同的結論;方法開放指解決問題的方法不一定唯一，可以讓學生用多種方法來解決同一個問題。

無論情境開放、問題開放，還是方法開放，均需要學生在開放中尋找問題、研究問題。因此，要求學生具備一定的抽象概括能力和邏輯推理能力。上述心理學研究表明，這兩種能力的訓練是培養學生思維深刻性的有效途徑。

【案例2】“圓的切線與割線”開放式教學

情境如圖1，AB、AC是圓的切線，ADE是圓的割線，連接CD、BD、BE、CE。

圖1

問題1由上述條件能推出哪些結論？

探究1由已知條件可知∠ACD=∠CED，而∠CAD=∠EAC，所以△ADC∽△ACE。（1）

所以CD·AE=AC·CE。（2）

同理可證BD·AE=AB·BE。（3）

因為AC=AB，所以由（2）（3）可得BE·CD=BD·CE。（4）

思考還能推出其他結論嗎？

問題2將圖1中的線段AC以A為中心順時針旋轉一定的角度，使AC不再是切線，得到下頁圖2，此時又能推出哪些結論？

圖2

探究2由于點C在圓外，設CE與圓相交于點G，CD與圓相交于點F，連接FG。與探究1所得到的結論相比較，可以猜想△ADC∽△ACE。（5）

還可以得到FG∥AC。（6）

問題3將AC繼續以A為中心順時針旋轉，使圖2中的割線CFD變成切線CD，得到圖3，此時又能推出哪些結論？

圖3

……

這里，通過情境與問題的開放，引導學生探究提出不同的問題，得到不同的結論，培養學生思維的深刻性。

（三）自主提問：培養思維的獨創性

自主提問是指學生在教師設置的情境中提出新的問題，或在自己設計的情境中提出問題。研究表明，小學階段，讓學生自己編擬題目是培養學生思維獨創性的有效方法;到了中學階段，除了對學生進行自編題目的訓練之外，更要注意對學生進行自主提出問題的訓練。因為兩者是有一定區別的：自編題目時往往提供的信息是充足的，學生只要設計一種情境將已知信息填補到問題中;而提出問題時往往提供的信息是不充分的，學生需要自己設計或補充條件來提出問題。顯然，自主提問要有一定深度的思維方能實現，這恰是思維獨創性的體現。

美國學者布朗（S.Brown）與沃爾特（M.Walter）給出了在已知數學問題的基礎上提出問題的“whatifnot”策略（否定假設法），即對概念、命題或問題等進行分析，確定其各個屬性，對每個屬性運用“如果不是這樣的話，那又可能是什么”的法則來提出新問題。

【案例3】從“等腰三角形腰上的高問題”出發的自主提問教學

問題1如圖4，在等腰△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，過點C作CD⊥AB，過點P分別作AB、AC兩腰上的高PE、PF，你能發現三條高之間的數量關系嗎？

圖4

這是一個結論未知但唯一的問題。學生解答完成后，教師可以提問：根據這個問題的啟示，你能聯想到什么問題？你能提出一個猜想嗎？此時學生可能會提出如下問題：

問題2如果P是線段BC上任意一點，結論還成立嗎？

問題3如果P在BC的延長線上，結論還成立嗎？

問題4如果P是等腰△ABC內任意一點，會有什么結論？

然后，教師可以進一步提問：除了改變P的位置探究結論，你還能提出其他相關問題嗎？學生改變思路后，可能又會提出如下問題：

問題5如果在直角三角形、等邊三角形中，結論還成立嗎？

問題6對于一般的三角形，會得到什么結論？

接著，教師可以繼續引導學生對“在等腰△ABC中”這一屬性進行否定假設，學生會推廣到四邊形中。

問題7在四邊形中存在類似的結論嗎？

探究如圖5，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，P為BC的中點，過點C作CG⊥AD，過點P分別作AD、BC兩腰上的高PE、PF，探究三條高之間的數量關系。

圖5

問題8在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，沒有了腰，怎么研究呢？

探究可以連接對角線，構造出三角形。如圖6，在平行四邊形ABCD中，連接AC、BD，交于點O，過點C作CG⊥BD，過點P分別作BD、AC的垂線PE、PF，探究三條垂線之間的數量關系。

圖6

這時，教師可以繼續引導：同學們還能提出什么問題？對“垂直（高）”這一屬性進行否定假設，可以得到什么結論？

問題9將垂直改成平行，是否還具有上述的各種結論？

……

通過一個問題的提出和示范變形，引導學生利用“whatifnot”策略再提出更多的新問題。學生在自主提出問題的過程中，激發學習興趣，培養發現問題的能力，進而促進數學思維獨創性的發展。

參考文獻：

[1] 林崇德.學習與發展——中小學生心理能力發展與培養[M].北京：北京師范大學出版社，2003.

[2] 林崇德.培養思維品質是發展智能的突破口[J].國家教育行政學院學報，2005（9）.

[3] 曹瑞珍.通過編題活動促進學生思維品質的發展[J].心理發展與教育，1990（4）.

[4] 董奇.元認知與思維品質關系性質的相關、實驗研究[J].北京師范大學學報，1990（5）.

[5] 于文華，喻平.個體自我監控能力、思維品質與數學學業成績的關系研究[J].心理科學，2011（1）.

[6] 李明振.認知方式及其與學生數學思維靈活性的關系研究[J].心理發展與教育，1994（3）.

[7] 李明振.氣質類型與學生數學思維品質的相關研究[J].數學教育學報，1995（4）.

[8] Suzanne K.Vosburg.The effects of positive and negative mood on divergentthinking performance[J].Creativity Research Journal，1998（2）.

[9] 秦向榮，喻平.高中生CPFS結構對數學思維靈活性、深刻性影響的實驗研究[J].上海師范大學學報（哲學社會科學·基礎教育版），2005（3）.

[10] 張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2006.