主動演繹過程，追求思維策略

摘要：在“生長數學”理念下，“三角形內角和”的教學目標是促進思維生長，教學活動是主動演繹過程，教學重心是追求思維策略。在這樣的價值判斷下，設計相應的教學活動，重點引導學生在證明三角形內角和定理的過程中，產生“式結構”與“形結構”的聯想轉化，不斷生長新的思維，迸發新的想法，最終獲得哲學方法論上的認識。由此獲得的教學反思有：厘清知識邏輯是教學設計的前提;把握思維邏輯是教學活動的關鍵;明晰教學邏輯是教學活動的根本。

關鍵詞：生長數學三角形內角和教學設計

一、“生長數學”理念下的“三角形內角和”教學價值判斷

（一）教學目標是注重知識應用，還是促進思維生長？

“三角形內角和”這一內容，學生在小學已經初步接觸過，通過測量角或“拼角”等活動已經知道了“三角形的內角和為180°”這一結論。初中再次研究這一內容，是對小學知識的重復，還是對其進行再構建、再生長、再創造？值得我們深思。

對于這一內容，部分教師在教學中只是簡單地證明一下“三角形的內角和為180°”，而把大部分時間放在運用三角形內角和定理解決一些純數學問題上，即把教學目標放在知識的應用上。筆者認為，這種做法只開發了“三角形內角和”教學的表象價值，沒有挖掘出其智慧價值。而其智慧價值應該是讓學生在探究“為什么是180°”的過程中，產生“式結構”與“形結構”的聯想轉化，不斷生長新的思維，迸發新的想法;同時，產生一種超經驗和數學美的體會，即三角形的內角和剛好是180°，不會多一分，也不會少一厘，它讓人不得不信。

（二）教學活動是被動接受知識，還是主動演繹過程？

為了追求所謂的“教學效率”，很多教師在教學中往往會代替學生思考知識、方法的發現、發明過程，使學生成了被動地接受教師講解知識正確性的聽眾。這種課堂上，學生不是真思考，而是假思考。對于“三角形內角和”，真思考的教學是讓學生主動、全身心地投入發現三角形的內角和是180°、發明這個結論的證明路徑和方法的過程中。一句話，就是讓學生主動地演繹三角形內角和的發現過程和推理認證的發明過程。

（三）教學重心是訓練操作程序，還是追求思維策略？

生活中有這樣的常識：制造工具的價值遠遠大于使用工具的價值。因為制造工具是核心技術，是生產力，使用工具是程序性操作，是“打工者”思維。對于“三角形內角和”，同樣存在這樣的問題：教學重點是有序、規范地表達證明和解題過程，還是發展學生的策略性思維？筆者認為，規范表達不是不要求，而是要把握一個度;比其更重要的是開發學生的策略性思維。

二、價值判斷下的“三角形內角和”教學活動設計

問題1（展示三角板教具）這個三角板可以抽象成數學中的什么圖形？你能在紙上再畫出一些這樣的圖形嗎？

設計意圖：從學生熟悉的三角形開始新課的學習，以此為這節課的生長點。讓學生畫三角形，學生會畫出各種形狀不同、大小不等的三角形。期盼學生畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形這三類三角形，這些三角形將為后面探究三角形內角和的本質奠基。

活動預設：如果學生畫出的三角形類型不全，可以追問：根據老師的要求，你還能畫出一些不同形狀的三角形來嗎？使學生畫全不同類型的三角形。此時，教師可以將學生畫出的有代表性的不同類型的三角形畫在黑板上（如圖1），為下面將要進行的探究活動做準備。

圖1

問題2老師在黑板上畫出的三角形是同學們畫出的形狀不同、大小不等的三角形的代表。現在請同學們思考一下：這些長得不一樣的三角形具有共同的特點（性質）嗎？

設計意圖：讓學生回憶小學學過的三角形內角和的性質，引導學生感受幾何學習中的“形變質不變”的神奇魅力。盡管三角形的形狀與大小各不相同，但是，小學學過的知識會告訴學生，其內角和都為180°。對這個結論，在小學里，學生的認識可能還沒有上升到“形變質不變”這樣一個哲學化的層面，但是通過這樣一個活動，凸顯了三角形內角和性質的神奇，也踐行了螺旋上升的生長理念。

活動預設：如果學生基礎較弱，提煉不出三角形內角和的性質，可以追問或啟發：盡管三角形的形狀與大小不同，但是從“幾何量”的角度看（對于“幾何量”的概念，在“三角形概念”的教學中，就要明確對學生加以說明。因為研究幾何圖形，就是研究幾何圖形的“幾何量”的關系），這些三角形都有什么元素呢？它們又有什么關系呢？從而把學生的思維聚焦到三角形內角（或其他“幾何量”）上來，進而得到所需要的結論。

如果學生基礎較好，一下子說出了很多關于三角形的性質，可以將這些性質一一寫在黑板上，但是要利用“雕塑式板書”的藝術，將“三角形的內角和為180°”寫在第一行。接著，引導學生“飯要一口口地吃，事要一件件地做”，追問學生：你們想先研究哪一個性質呢？此時，也可能出現不同的研究需求，這沒有關系，因為受板書的提醒，會有部分學生表示想先研究“三角形的內角和為180°”，此時便可以利用教師特有的話語權，順水推舟地迎合這些學生的想法，將教學活動推進到下一個環節。

問題3你們知道三角形的內角和是180°，那么知道為什么嗎？

設計意圖：講道理（證明），是數學學科的重要精神追求和思維特征。再次提醒學生用“講道理”的方法來說明結論，讓學生認識到“這需要證明”。長期堅持這樣的思維方式，有利于學生形成正確的世界觀、價值觀、人生觀以及理性思維的品質。

活動預設：對于學生基礎較好的班級，這種設計意圖，不會存在任何意外。對于學生基礎不是很好的班級，可能會有學生直接回答：小學老師告訴我們的。此時，要提醒學生注意審題：老師現在問你的是為什么三角形的內角和是180°，而不是誰告訴你三角形的內角和是180°的。使學生回到“需要證明”這個預設上來。另外，可能會有學生回答：通過撕角拼圖可以說明三角形的內角是180°。這時，要讓學生上臺來動手操作，展示其通過數學實驗驗證的過程，并且把相應的圖形保留在黑板上（如圖2），為下面證明過程中輔助線的自然誕生做鋪墊。然后，要指出“這是驗證”，并且通過追問將數學思維自然生長到“如何證明”上來。

圖2

問題4（1）根據撕角拼圖的實驗，你能想到怎樣的證明方法？

（2）觀察式子∠A+∠B+∠C=180°的結構，你能想到怎樣的圖形結構？從而得到怎樣的證明方法？

設計意圖：如何證明這個結論，是這節課的重點和難點。讓學生自然地想到證明方法，很考驗教師的數學理解和教學機智。筆者認為，數學學習是一個基于數學本質自然生長的過程——本質的東西是所謂的“大道”，最為簡單、有效;而代數的本質往往落在“式結構”上，幾何的本質往往落在“形結構”上。因此，數學教學應該行走在“式結構”與“形結構”的時空中，讓它們擦出火花，埋下種子，進而生根、發芽、開花、結果。

回到證明“三角形的內角和為180°”這個命題上來，就是要在△ABC中，根據“∠A+∠B+∠C=180°”這個“式結構”，想象到具體的幾何圖形的“形結構”。具體地，“∠A+∠B+∠C=180°”這個“式結構”可以分為兩個部分來認識：一個是“∠A+∠B+∠C”，其中的“+”就是要將∠A、∠B、∠C放（聚）到一起，由此能夠自然地想到“撕角拼圖”和“等角湊圖”;另一個是“180°”，由此能夠自然地想到平角模型、鄰補角的和模型、平行線中的同旁內角的和模型。

因此，針對基礎薄弱的學生設計問題4（1），讓他們在“撕角拼圖”實驗的提示下，想到證明方法，同時感悟實驗的理性價值與智慧價值;而針對基礎較好的學生設計問題4（2），直接讓他們產生對“式結構”與“形結構”的聯想，獲得證明方法，同時感悟控制變量思想的運用。

活動預設：對于基礎薄弱的學生，可以通過問題4（1），引導他們得到下列三種基于輔助線的證明方法：（1）由拼成平角的實驗（如圖2），可以得到過點A作BC平行線DE圖3（如圖3）的證法;（2）由拼成鄰補角的實驗，可以得到延長BA到點E并過點A作BC平行線AD（如圖4）的證法;（3）由拼成平行線中的同旁內角的實驗，可以得到過點A作BC平行線AD（如圖5）的證法。

圖4圖5

然后，引導學生反思：正因為三角形的三個內角的和是180°，我們才可以設計出‘拼角實驗’，進而找到將三角形的三個內角拼成平角、鄰補角或平行線中的同旁內角的輔助線，來證明此結論。

而對于基礎較好的學生，則可以通過問題4（2），引導他們想到這三個基本的“形結構”。接下來自然地進入如何將三角形不在一起的三個內角，通過等角變換（改變角的位置，而不改變角的大小）放（聚）到一起的技術操作層面。雖是技術操作，但是思維含量不可小覷：有層次的思維應該是依次考慮變換一個角、兩個角和三個角的可能性及方法。于是，根據“生長數學”最近聯想、最近生長的原則，聯想到作平行線可以實現等角變換：變換一個角的輔助線（如圖5），變換兩個角的輔助線（如圖3、圖4），變換三個角的輔助線（如圖6），各種證明方法便應運圖6而生了。當然，變換三個角還有變到三角形內和三角形外的情形，這里不再另述。

然后，引導學生反思：上述有層次的思維體現的其實是物理、化學、生物等自然科學中常用的控制變量法，即讓一些量不變，另一些量改變;而在各個思維層次里，由于∠A、∠B、∠C “地位平等”，也可以有相應的輔助線變式。由此，幫助學生打通學科間的方法壁壘，理解“結構模型”本質性、包容性，提高思維的深刻性、靈活性。

最后，還要追問：為什么我們用一個三角形來證明內角和為180°，就可以認為所有的三角形的內角和都為180°呢？引導學生用運動的觀點（如圖7）反思上述證明不失一般性。

圖7圖8

問題5（1）如圖8，在△ABC中，點D是邊CA延長線上的一點，若∠B=48°，∠C=62°，求∠BAD。

（2）如圖9，AB與CD相交于點M，如果∠A=∠D，求證：∠B=∠C。

（3）如圖10，點B是線段AC上一點，并且∠A=∠DBE=∠C，求證：∠D=∠EBC。

圖9圖10

設計意圖：這三題都是三角形內角和定理的簡單應用。第（1）題可以引導學生得到三角形外角的性質這個推論。第（2）題可以引導學生挖掘對頂角相等的隱含條件，從而對“8字形”結構有初步的認識。第（3）題可以讓學生初步認識“一線三等角”的結構。

問題6本課你學習了什么？你最大的收獲有哪些？

設計意圖：期盼學生能夠總結出以下四點：一是數學上通常可以通過“式結構”來聯想“形結構”，讓這兩種結構聯系在一起，發揮數與形的力量;二是添加輔助線是解決幾何問題的主要手段;三是平行線可以改變角的位置，不改變角的大小，從而把角放（聚）到一起;四是研究幾何的視角就是探究圖形變化的過程中“幾何量”不變的規律。

活動預設：如果學生總結有困難，教師可以引導學生回顧這節課的數學活動。在學生小結的過程中，教師要用“雕塑式板書”的藝術，突出上述四個活動經驗。

三、活動設計下的“三角形內角和”教學反思

“生長數學”教學理念凸顯知識的生長性，指向思維的生長性，助力生命的成長。而生長性外顯于邏輯性，下面從知識邏輯、思維邏輯、教學邏輯三方面來談談筆者對本課例的教學反思。

（一）厘清知識邏輯是教學設計的前提

數學教學活動是以數學知識為載體的，而數學知識及其發展是有先后順序和邏輯關系的，這就必然關系著教學活動、教學過程的選擇、設計和優化。因此，厘清知識的邏輯關系是設計教學活動的前提。

“三角形內角和”這一內容的知識邏輯，除了發現內角和為180°、證明內角和為180°、應用內角和為180°解決問題這些顯性的邏輯之外，還有上述活動設計中提出的“變中不變”“不失一般性”的隱性邏輯。教學中，只有把顯性邏輯與隱性邏輯加以整合，彰顯知識的生長性和關聯性，才能發揮數學教學的育人價值。

（二）把握思維邏輯是教學活動的關鍵

這里所說的思維邏輯是指，在教學過程中，根據要學習的知識邏輯，學生與教師所進行的思維活動的規律。思維邏輯不僅體現在知識本身上，還體現在參與教學活動的教師與學生的思維活動中。

本課例中，讓學生從“180°”這個“式結構”自然想到“平角”“鄰補角的和”“平行線中的同旁內角的和”三種“形結構”，從“∠A+∠B+∠C”中的“+”自然想到“把∠A、∠B、∠C放到一起”，進而自然想到控制變量法、作平行線等，都是在讓學生建立思維的邏輯，體會邏輯的價值，感悟生長的力量。

（三）明晰教學邏輯是教學活動的根本

這里所說的教學邏輯是指，在教學過程中，師生之間教與學全過程的思維及規律。教育的根本目的就是讓學生更好、更快地生長、成長。一節數學課就應該講述一個思維“故事”，在這個過程中帶給學生終身受用的哲學方法論上的認識，即讓學生“帶得走”的能力和素養。

本課例中，讓學生在證明“在任意△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°”的過程中，體會“干什么”（“+”意味著“把三個內角放在一起”）、“怎么干”（平行線可以改變角的位置，不改變角的大小，因此可以引入平行線）、“試試看”（用控制變量法）、“有何收獲”（從“平等”的角度，產生了模型下的變式方法;從運動的角度，用一個三角形來證明內角和定理又“不失一般性”）。這種解決問題的全過程，有其特別的教育意義。因為這種思維方法，不僅是解決此問題的方法，也是解決所有數學問題的方法。從某種意義上說，又不僅是解決數學問題的方法，也是解決將來生活中、工作中遇到的各種問題的方法。

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