數(shù)學實驗環(huán)境下的深度學習

張建山

摘要：數(shù)學實驗的實踐特征可歸納為從直觀到抽象、從感性到理性、從經(jīng)驗到方法。這不僅關系到深度學習的表現(xiàn)形式、思維方式和通用技術，更有助于學生數(shù)學“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的發(fā)展，有助于數(shù)學核心素養(yǎng)的層級與緩存，能實現(xiàn)數(shù)學思考階段性目標的定性發(fā)展。以《主視圖、左視圖、俯視圖》一課的片段為例進行說明。

關鍵詞：數(shù)學實驗深度學習三視圖

文獻研究顯示，深度學習（deep learning）是對學習狀態(tài)的質(zhì)性描述，涉及學習的投入程度、思維層次和認知體驗等層面，強調(diào)對概念本質(zhì)的理解與把握，及其對學習內(nèi)容的揚棄與可持續(xù)利用，實現(xiàn)學習的正遷移和有思維的問題解決。這里的“有思維”主要聚焦概念的工具性、概念性以及關系性的理解與定位。在R.斯根普看來，“工具性理解”是一種程序性理解，即一個規(guī)則R所指定的每一個步驟是什么，如何操作;“關系性理解”則還需要加上對符號意義或替代物本身結構上的認識。朱桂鳳老師覺得，斯根普提出的工具性理解和關系性理解跨度太大;從數(shù)學學科的認知過程來看，應該還有一個基于學科本身的內(nèi)部的理解過程，也是概念形成和概括的核心過程，可以稱之為概念性理解。當然，數(shù)學知識的學習要更多地定位于關系性理解，只有從工具性理解達到關系性理解，才能把握數(shù)學對象的本質(zhì)。

數(shù)學實驗作為一門實踐學，追求的恰是“數(shù)學思考”（即“有思維”）目標的有序?qū)崿F(xiàn)，以及概念意義的深度建構和思維方式的概括與表征。但由于初中學生的抽象、推理和模型思維尚待發(fā)展，形象思維大于抽象思維，工具理性大于概念理性，概念理性大于關系思維，就決定了數(shù)學實驗的實踐特征可歸納為從直觀到抽象、從感性到理性、從經(jīng)驗到方法。這不僅關系到深度學習的表現(xiàn)形式、思維方式和通用技術，更有助于學生數(shù)學“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的發(fā)展，有助于數(shù)學核心素養(yǎng)的層級與緩存，能實現(xiàn)數(shù)學思考階段性目標的定性發(fā)展。

下面，以江蘇省連云港市“特級教師走基層活動”中朱桂鳳老師執(zhí)教的蘇科版初中數(shù)學七年級上冊《主視圖、左視圖、俯視圖》一課的片段為例，試談筆者對數(shù)學實驗環(huán)境下的“深度學習”（基于抽象力、推理力和模型力的發(fā)展）的些許思考，并以此彰顯數(shù)學實驗課程的實踐意義及其“思維扶貧”的微言大義。

一、從直觀到抽象：數(shù)學實驗深度學習的表現(xiàn)形式

在數(shù)學實驗實踐學范疇，直觀是數(shù)學實驗運行的基本方式，抽象是數(shù)學實驗的目的，從直觀到抽象是深度學習的表現(xiàn)形式。在數(shù)學實驗教學中，實驗內(nèi)容與步驟的確立就是直觀思維得以運行的行動載體，實驗結論的概括與提煉就是數(shù)學抽象力發(fā)揮作用的行為表現(xiàn);從直觀到抽象的過程就是數(shù)學實驗環(huán)境下深度學習的基本途徑，有助于數(shù)學理解目標的實現(xiàn)。一般地，數(shù)學實驗對數(shù)學思考目標的補償作用，不止于過程性目標，還在于結果性目標的最大化達成。也就是說，數(shù)學思考的成效最終要通過結果性目標來表現(xiàn)。在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011版）》）看來，結果性目標“了解”是從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征，還要根據(jù)對象特征從具體情境中辨認或舉例說明對象。這就是數(shù)學實驗發(fā)生概念層的基本目標，與概念的工具性理解顯性相關。

【教學片段1】

活動1：請兩位同學走到黑板前，并排面向全體同學站立后連續(xù)向左轉。

活動2：請學生看投影，并齊聲朗讀蘇軾的《題西林壁》。

師這兩個活動要告訴我們什么？說說你的想法。

生從不同方向看同一物體，物體形狀可能會不同。

生要較為全面地認識一個物體，通常需要從多個方向觀察。

活動3：畫一畫。依次出示問題：

圖1（1）如圖1，從上面、左面、正面看一個球，看到的圖形分別是什么？請動手畫一畫。

（一位學生展示。）

師這些圖形能不能隨便畫？

生不能。

（2）動手配對：如圖2，觀察四棱錐，右邊3幅圖分別是從哪個方向看到的？

圖2

（一位學生展示：把3幅圖分別拖到從上面、正面、左面看的對應位置。）

師（投影一個沒有畫出對角線的正方形）能不能說從上面看到的是這樣的圖？

生不能。應該能看到四棱錐的棱和頂點。

師畫的時候又該注意什么？能不能隨意畫兩個三角形？

生兩個三角形要一樣大小，畫圖時要注意對應的長度一致。

（3）動手配對：如下頁圖3，桌面上放著一個圓柱和一個長方體，請找出下面3幅圖分別是從哪一個方向看到的？

圖3

（一位學生展示：把3幅圖分別拖到從上面、正面、左面看的對應位置。）

從“直觀”到“抽象”是概念發(fā)生環(huán)節(jié)的關鍵詞。直觀意味著知道具體對象，抽象意味著知道對象特征，從直觀到抽象旨在讓學生舉例說明對象特征。在數(shù)學實驗深度學習實施范疇，從直觀到抽象的思維形態(tài)表現(xiàn)在三個層面：一是目標定位的適應性，能讓每一個學生獲得良好的個體數(shù)學發(fā)展，知道應知應會的知識;二是實驗思維的補償性，能讓每一個學生都有“夠到桃”的抽象機會;三是思維反應塊的層次性，能讓每一個學生都有發(fā)展多元思維的契機，形成概念的本質(zhì)特征，剔除概念的非本質(zhì)屬性，實現(xiàn)“了解”概念的目標，及其抽象過程的支持性條件（直觀的問題情境）。這些帶有刺激物特征的問題反應塊，實現(xiàn)了從直觀到抽象的“深度學習”意義，即思維的適應性、補償性和層次性;并落實了數(shù)學思考的“工具性”目標，當然這里的工具性除了具有程序性知識的意義，還有思維工具本身的指向意義。

課前，執(zhí)教者通過投影，明確了本節(jié)課的學習目標：（1）在具體情境中，獲得直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖的畫法;（2）在問題解決中，判斷簡單物體的視圖，知道視圖的應用，發(fā)展空間觀念。這既是對《課標（2011版）》中第三學段（7—9年級）“圖形與幾何”領域課程內(nèi)容“通過豐富的實例，了解中心投影和平行投影的概念;會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)簡單的視圖描述簡單的幾何體”的課時化考量，更是對本節(jié)課作為概念起始課的基于“從直觀到抽象的三層思維形態(tài)”的整體預設。

執(zhí)教中，讓兩位學生上臺展示，其他學生在“連續(xù)向左轉”思維的參與下，看到了同學身體的四個面。朗讀《題西林壁》活動的跟進，意在通過兩個活動中圖文的變換，掩映圖形變換思想，讓學生明白“從三個方向”看到的同一個物體的圖形有可能是不一樣的，同時，感知至少從三個方向上看一個物體，才能把握物體的概貌特征。這組活動實現(xiàn)了與小學“從三個方向看”概念意義的自然銜接，既是喚醒經(jīng)驗，更是為下一步“夠桃”備好墊腳的“凳子”。活動3中的3個梯級問題是“思維反應塊”，意在讓學生在畫圖與選擇中不斷地抽象“三視圖”的特征，有助于概念的發(fā)生與形成，在過程性“做數(shù)學”中達成了解概念的目標。其中，問題（1）是從“從三個方向看”到“三個視圖”的思維過渡，是從小學幾何到初中幾何的銜接，有助于學生感知中心投影的物理壓縮意義，以及課時目標的準確定位;問題（2）是示范“三視圖”的畫法和規(guī)則，有利于引導學生規(guī)范畫圖意識，養(yǎng)成科學思維;問題（3）則是由簡單到復雜的思維范式，引導學生的數(shù)學思考由“單一思維”走向“組合思維”，落實概念抽象和重組的意義，為概念的遷移提供直觀數(shù)學實驗的思維基礎。

二、從感性到理性：數(shù)學實驗深度學習的思維方式

在數(shù)學實驗深度學習范疇，感性思維是知識獲得的邏輯起點，理性思維是知識保持的支持條件，從感性思維到理性思維的變遷是概念理解的數(shù)學思維方式。數(shù)學思考為深度學習提供支撐，深度學習的層次支配著問題解決的水平和方向，為數(shù)學思考提供不可或缺的鋪墊。進一步而言，舉一反三的數(shù)學例規(guī)法及其觸類旁通的問題解決套路，都為數(shù)學實驗的有序操作提供深度學習的支撐。在過程性體驗目標的支配下，數(shù)學實驗作為一種理解知識的程序，可促發(fā)概念理解目標的層次性實現(xiàn)。例如，從“用細木棒搭三角形”獲得“三角形三邊制約關系”，就是從感性到理性的實驗過程。其中，“較短兩邊的和大于最長邊”結論的提煉，就是深度學習的結果形態(tài)。

認知心理學將理解問題看成是頭腦中形成問題空間的過程。問題空間是個體對一個問題所達到的全部認識狀態(tài)，包括問題的起始狀態(tài)和目標狀態(tài)以及由前者過渡到后者的各種中間狀態(tài)和有關的操作與推理。在大尺度的數(shù)學實驗邏輯推理范疇，起始狀態(tài)就是感性思維，目標狀態(tài)就是理性思維，由感性到理性的過程就是起始狀態(tài)過渡到目標狀態(tài)的外在思維方式。《課標（2011版）》把“理解”看作是描述對象特征和由來（概念的起始狀態(tài)），闡述對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系（概念對象與相關對象之間的關系）。正如從“從正面、左面、上面看”到“主視圖、左視圖、俯視圖”概念的形成，就是從感性到理性的一個生動的例規(guī)性非完全推理。其實，從“選擇、辨認‘三視圖’”到“畫出‘三視圖’”的過程就是從感性思維上升到理性思維的過程，實現(xiàn)了對概念本質(zhì)特征的進一步把握。不難理解，這些層次性思維有助于概念的概念性產(chǎn)生式形成，與概念的結果性目標具有內(nèi)部關系一致性，發(fā)展了學生的概括與表征水平。

【教學片段2】

活動4：如表1，觀察表中所示物體，將看到的圖形填入表中。學生畫圖后，分組展示。

師畫出圖形的大小有什么要求？

生畫圖的大小要與原幾何體一致。

師具體要怎么做才能讓畫圖的大小與原幾何體一致？請小組討論后，分別匯報交流。

（學生分組展示后，歸納出畫圖大小規(guī)范的標準：長對正、高平齊、寬相等。）

師請嘗試用自己的語言給主視圖、左視圖、俯視圖以描述性的概念。

（兩位學生分別給出自己的概念描述。）

圖4活動5：如圖4，請嘗試畫出該物體的“三視圖”，并將自己畫圖的結果與課本上的結果相比對，進一步體會如何才能規(guī)范畫圖，并把自己的想法與同伴交流。

在數(shù)學實驗中，數(shù)學認知理解目標達成的質(zhì)量，受深度學習問題反應塊的支配：適度的問題有助于概念的理解與把握，正如適量變式練習是形成心智技能的重要途徑。為了追求適合的問題反應塊，需要做好三個層面的數(shù)學實驗操作：一是提出問題，落實數(shù)學實驗的概括功能;二是解決問題，搭建數(shù)學實驗從感性思維上升到理性思維的臺階;三是元認知體驗，落實概念的概念性理解，即概念發(fā)生的必要性和來龍去脈。

在“三視圖”概念的形成與使用模塊，就是突出感性思維到理性思維的過渡狀態(tài)，有利于概念的認知理解以及過程性目標的實現(xiàn)。教學片段2中，活動4讓學生先從三個方向看，再畫出三個基本幾何體的“三視圖”。這是教學片段1中“配對”活動的認知升級，使“三視圖”概念的感性特征愈發(fā)明顯。畫圖后的交流反思意在讓學生評價思維結果的科學性和規(guī)范性，進而具體理解“長對正、高平齊、寬相等”的實際意義。這是落實理性推理的支持條件，進而在由特殊到一般思想引領下，能順利給出“三視圖”的描述性概念。活動5讓學生在畫出復雜幾何體“三視圖”的基礎上，分組評價畫圖結果，并且在與課本對照的過程中，進一步確定理性畫圖方法。如果說活動4含有感性思維的成分較多，那么活動5更多的是理性思維的載體，確認理性畫圖方法就是元認知體驗的具體表現(xiàn)，落實了從感性到理性認知理解目標的有序?qū)崿F(xiàn)，突出了數(shù)學實驗深度學習的推理特征：經(jīng)歷推理、概括與反思，形成概念性理解的能力。

三、從經(jīng)驗到方法：數(shù)學實驗深度學習的通用技術

心理學研究表明，專家之所以具有較強的遷移能力，原因之一就是他們具有解決某一問題的豐富的背景經(jīng)驗或認知結構。在數(shù)學實驗評價學范疇，背景經(jīng)驗可以理解為一種客觀的知識結構，方法體系可以理解為一種個體的認知結構，將知識結構轉化為認知結構的過程就是從經(jīng)驗到方法的實現(xiàn)過程。在實踐學范疇，數(shù)學實驗是通過對實驗現(xiàn)象和結果的分析、表征與應用，以及相應的“請用語言描述你的發(fā)現(xiàn)”“你怎么知道的？”“下一步，你還需要怎么做？”等帶有元認知監(jiān)控特征的活動，誘發(fā)深度學習發(fā)生的。這里的深度學習主要包括元認知層面的分析、反思與評價，有助于認知遷移的實現(xiàn)，是經(jīng)驗轉化為方法的通用技術，更是對概念進行關系性理解，形成和發(fā)展模型力的不可替代的途徑。

【教學片段3】

活動6：如圖5，分別畫出圖中兩個物體的主視圖、左視圖、俯視圖。學生獨立畫圖。

圖5

師與活動5中的“三視圖”結果相比較，有什么不同？產(chǎn)生這些不同的根本原因是什么？

（學生分組展示。）

活動7：如圖6，該幾何體由大小相同的小立方體搭成。

（1）請在方格紙中畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖。

（2）現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小立方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，那么在這個幾何體上最多可以再添加幾個小立方體？為什么？說說你的想法。

圖6圖7

活動8：小結反思。

（1）舉例說明，經(jīng)歷本節(jié)課的學習，你獲得了什么？

（2）舉例說明，你知道了什么？

（3）你對圖形世界有了哪些新認識？

活動9：圖7是一個由長方體和圓柱組合而成的幾何體。已知長方體的底面是正方形，其邊長與圓柱底面圓的直徑相等，其高也與圓柱的高相等。

（1）畫出這個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖;

（2）若圓柱底面圓的直徑為a，高為b。現(xiàn)將該幾何體露在外面的部分噴上油漆，求需要噴漆部分的面積。

進一步而言，在數(shù)學實驗環(huán)境下，深度學習表現(xiàn)為三個思維層面：

第一是應用意識。也就是有意識地利用數(shù)學概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題。如，從“從三個方向看”到“三視圖”概念的抽象，就是應用意識的第一個層面。此外，還包括認識到現(xiàn)實世界中蘊含著大量與數(shù)量有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法加以解決。在整個數(shù)學實驗過程中，應該注意培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。活動7第（2）問的解決，需要思維在幾何體與“三視圖”之間不停往返，這是應用概念的行為，帶有逆向思考的特征，實現(xiàn)了將數(shù)學實驗的活動經(jīng)驗上升到數(shù)學方法體系層面，落實了概念的關系性理解，驅(qū)動了數(shù)學實驗的概念經(jīng)驗轉化為概念方法的內(nèi)部支持。

第二是發(fā)展區(qū)意識。就是使學生思維知覺水平與問題思維水平一致，經(jīng)歷問題解決能將學生的事實發(fā)展水平上升到現(xiàn)有發(fā)展區(qū)水平，從而有助于從經(jīng)驗到方法目標的有序?qū)崿F(xiàn)。當然，任何實驗經(jīng)驗的層級最終都需要結果性實驗目標的達成，這就要求學生掌握和運用概念。一般情況下，掌握是在理解的基礎上，把對象用于新的情境;運用是綜合使用已經(jīng)掌握的對象，選擇和創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。前者是概念使用層，后者是概念解釋層。無論概念的掌握還是運用，都與概念的關系性理解具有內(nèi)部關系一致性。比如，活動6就直接指向掌握概念的結果形態(tài)。與活動5畫圖結果的比對（教師的追問），意在讓概念的結果形態(tài)在“同與不同”及“同與不同背后原因的思索”中愈發(fā)豐滿，為概念使用層級提供足夠的理解基礎。而活動7第（2）問的解決過程中，互逆思維的使用，正是概念使用與概念解釋兩個不同層面往復的過程。這個問題觸及學生的問題解決能力，是對結構概念的一種最好解釋。好的數(shù)學實驗總是在引導學生進行數(shù)學思考的同時，關注培養(yǎng)學生的問題解決能力——這才是最好的數(shù)學實驗教學，也是有質(zhì)量的深度學習的外在表現(xiàn)。

第三是元認知意識。一般情況下，它是對認知活動的認知，是對概念意義的解釋與拓展。《課標（2011版）》明確指出，數(shù)學知識教學要把每一堂課教學的知識置于整體的知識體系中，注重知識之間的結構和體系，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性，體會某些知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。為此，基于深度學習，執(zhí)教者建構了包括提出問題、合作探究、討論反思、認知回流、應用解釋等實驗模型，有助于學生在實驗過程中，將整體思維納入自己的認知結構，實現(xiàn)對知識的系統(tǒng)把握，達成“知其然，知其所以然”的目標。在活動8這一結課環(huán)節(jié)，執(zhí)教者就是基于“從經(jīng)驗到方法”，讓學生在反思評價中，獲得基本方法（基本套路），及時將數(shù)學實驗外在的操作行為轉化為概念解釋力，實現(xiàn)深度學習，培養(yǎng)模型意識。比如，小結中的“舉例說明”本身帶有元認知意識，有助于學生形成上下貫通、左右銜接的知識體系，是將實驗經(jīng)驗上升到實驗方法的通用技術。另外，活動9的問題設置是由“三視圖”回歸代數(shù)思維的表現(xiàn)形式，而代數(shù)思維本身就是一種模型，也是一種元認知意識，即“畫圖—模型—解釋”，這有助于概念認知結構的遷移與變式，有助于元認知目標的實現(xiàn)。

*本文系江蘇省中小學教學研究第十二期重點資助課題“基于‘深度教學’視角的數(shù)學實驗常態(tài)化實施實踐研究”（編號：2017JK12ZA11）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 康淑敏.基于學科素養(yǎng)培育的深度學習研究[J].教育研究，2016（7）.

[2] 馬復.試論數(shù)學理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起[J].數(shù)學教育學報，2001（3）.

[3] 張安軍.分類思想在人教版初中數(shù)學教材中的作用及其教學啟示[J].中學數(shù)學，2018（8）.