中學數學概念教學的探索

朱滿華

【摘要】數學概念是數學知識的起點，是進行邏輯推理和運算的保證。對概念的理解模糊不清，就會出現運算不靈、邏輯推理錯誤的現象。例如，在“實數的平方根”這個概念的教學中，學生沒有真正理解 “實數的平方根” 的概念，很容易出現 16 的平方根表示為或的錯誤，一旦學生對此概念的錯誤理解未能得到有效的糾正，他們將會在以后的學習中延續同樣的錯誤。因此，我們要重視中學數學概念的教學。

【關鍵詞】中學；數學概念；數學概念教學

概念是客觀事物的本質屬性在人們頭腦中抽象、概括的反映。一個概念的形成過程通常是按感覺—知覺—表象—概念的過程。數學概念是現實世界空間形式和數量關系及其特征在思維中的反映。數學概念的形成也要通過人的感官形成感覺、知覺，通過大腦加工—比較、分析、綜合、概括—形成。因此完成一個概念的教學，不能平鋪直敘，或簡單地要求學生死記條文、定義，而是讓學生了解概念的來龍去脈，理解概念，才能使他們做到學以致用。這就要求老師必須根據概念的特點和學生的知識水平，認真設計概念的引入，明確其定義，然后深化概念的理解，最后還要加強概念的鞏固。

一、認真設計概念的引入，明確其定義

概念在其形成的過程中逐漸明朗化。任何一個概念的產生都有它的實際過程，在概念的形成過程中，認識它的必要性和合理性，可以達到理解概念訓練思維的目的。

1. 提供數學模型，通過觀察、比較、分析、歸納概念的定義

（1）通過對實例的比較、分析、歸納概念的定義

中學數學概念中，如映射、等差數列、等比數列等，都是從實例中歸納總結出來的。如在新教材（第一冊（下））里學習“等比數列”時，先列出三個數列：

讓學生觀察數列①②與數列③的異同之處，學生很容易得出這樣的結論：對于①和②兩個數列，從第二項起，每一項與前一項的比都是一個不為零的常數。由此，我們很容易導出等比數列的概念。通過對比，學生可很快掌握等比數列的概念和本質屬性。

（2）通過觀察圖形，引出概念，歸納其定義

在教學過程中，有些概念是可以結合圖形進行闡述的。如在講授函數的單調性時，可先呈獻如下兩圖。引導學生觀察兩圖中的相同點和不同點。學生容易得出這樣的結論： ①兩個函數圖象都是連續的，因而這兩個函數是連續函數。②圖1從左至右是下降的圖象，y隨x的增大而減少；圖2從左至右是上升的圖象，y隨x的增大而增大。

2. 提出問題，引導探究，得出定義

第一，提出問題，通過實驗操作進行探究。如在高二解析幾何橢圓的概念教學中，先提出“到兩個定點的距離之和等于定長的軌跡是什么？”根據此問題，可讓學生準備一根無彈性的繩子和圓規，引導學生按繩子長分別小于、等于、大于兩定點距離三種情況，進行畫圖，學生容易得到繩子長小于兩定點距離時不能作圖即沒有軌跡，等于時軌跡是兩點間的線段、大于時軌跡是一個橢圓，從而得出橢圓定義。

第二，根據數學內在發展需要，提出問題，得出定義。如在實數范圍內方程x2+1=0的解是什么？學生顯然很容易知道此方程沒有實數解，為了使它有解，就引入一個新數i，i滿足x2=-1，它和實數在一起可以按四則運算法則進行運算，由此引入復數的概念，于是方程x2+1=0就有解了。

二、充分揭示概念的內涵和外延，深化概念的理解

第一，用集合的觀點闡明概念間的內在聯系，深刻揭示概念的內涵和外延，從而深化概念的理解。例如數的概念中，從自然數到有理數、無理數、實數、虛數、再到復數，構成了復數這一完整的整體?？梢粤幸粋€數系圖如下。

第二，抓住概念的本質特征，從概念的內涵和外延上作深入的剖析，從而深化概念的理解。如三角函數 ，可這樣揭示正弦函數的值的本質是一個“比值”，它是α終邊上任一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，由于y≤r，因此是一個不超過1的數值；這個比值與點在角的終邊上的位置無關，這個比值的大小隨的變化而變化，當α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與它對應。如此以函數為基本線索，從中找出自變量、函數以及對應法則，從而對正弦函數理解就比較深刻了。經這內涵分析后，指出角的終邊上任意一點P（x、y）一經確定，就涉及x、y、r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且只有六個，因此基本三角函數只有六個。這樣對三角函數的外延就揭示得十分清楚了，從而對三角函數的概念有一個既有“質”又有“量”的完整統一的認識和理解。

第三，充分利用圖形，使抽象的概念直觀化、具體化，深刻揭示概念的內涵和外延，從而深化概念的理解。在數學概念教學中，通過揭示概念的形狀與其意義之間的聯系，使學生加深對概念的理解和掌握。因此，在教學中應特別重視數學概念幾何意義的揭示，數學概念的幾何意義對概念作出了直觀的解釋，它使概念更直觀、更易于理解。在高中數學教材中有許多概念，如橢圓、雙曲線、拋物線的概念，熟悉圖形可得出焦點、準線、對稱軸、中心、離心率、長短軸、實虛軸以及漸近線等概念，對加深理解概念的性質與記憶概念很有幫助。

三、加強概念的鞏固

心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固的主要手段是應用和歸納總結。

1. 在應用中鞏固概念

我們選擇習題時，可選具有概念性、典型性的。如學習了反函數有關概念之后，設函數 ，求f -1（2）的值。一般的思路是先求出反函數f -1（x），再求f -1（2）的值。但是如果直接應用反函數的概念，所求f -1（2）的值就是原函數f （x）函數值等于2時所對應的自變量的值，即方程 的解，這樣就比一般的思路快捷多了。

2.歸納總結，加強概念的鞏固

在某些章節講完之后，老師可以引導學生進行歸納總結，以鞏固對概念的理解。例如：在講完圓錐曲線這一章后，可把有關的圖形和性質，根據它們的內在聯系，列成一個完整的知識表，具體如下。

總之，中學數學概念教學是數學教學的重要環節，對構建數學知識結構，提高認知水平，培養思維能力有重要意義。教學時，輔以靈活多樣的教法使學生牢固掌握概念的實質及概念彼此間的聯系與區別，理清概念的脈絡和體系。

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