例談初中生直觀想象能力的培養

徐德同 樊向陽

摘要：基于2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中主要考查直觀想象能力的7個小題及6個師生問卷題的監測結果，對初中生直觀想象能力的培養提出教學建議：借助模型進行合理想象;依據語言描述畫（想象）出圖形;建立數與形的聯系意識。

關鍵詞：學業質量監測直觀想象畫圖數形聯系

直觀想象能力是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數學問題的能力。主要包括：幾何直觀和空間觀念。幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）圖形的形狀、關系，對數學研究對象（即空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力;空間觀念作為一種抽象思維能力，更傾向于即使脫離了背景，也能想象出圖形的形狀、關系的能力。直觀想象能力具體表現在三個方面：一是借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;二是利用圖形理解數學概念，描述、分析數學問題;三是建立形與數的聯系，把握不同事物之間的關聯。直觀想象能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

直觀想象能力是數學關鍵能力的構成要素，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。人類的一切知識都是從直觀開始（得到概念），而以理念結束的。無論數學研究對象的存在，還是數學研究對象的關系，都離不開直觀想象。

2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中，共設計了7個小題（下文提到的每一道試題都是其中之一，用具有明確含義的字母與數字組合進行編號——其中的“M”指數學，“8”指年級，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后三個數中前兩個代表題號，最后一個代表小題號）主要用以考查學生的直觀想象能力。分析樣本數據，我們發現，江蘇省八年級學生的直觀想象能力基本停留在會識圖層面，想象力發展不均衡，有顯著的區域差異和校際差異，文字語言和圖形語言之間的轉換能力不強，數和形相互轉化和結合的意識更顯薄弱。本文根據全省46262名八年級學生的測試成績、問卷調查以及4573名數學教師的問卷調查得到的數據分析，對初中生直觀想象能力的培養提出相應的教學建議。

一、借助模型進行合理想象

平面幾何的研究對象是形象直觀的圖形，這些圖形一般是從生活中的模型抽象而來的。在平面幾何諸如線段、角、三角形等內容的教學中，可以適時借助模型進行演示，引導學生通過觀察獲得幾何直觀和空間想象的感性認識。本次測試中，試題M8BO031以生活中常見的幾何體為模型，要求學生想象從不同角度觀察得到的平面幾何圖形，雖然學生的得分率還比較高，但是數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生的得分率差異很大，反映了學生空間想象能力發展的兩極分化。調查問卷中，我們設置了關于師生“學習（教學）幾何時，老師讓我們（引導學生）利用實物模型進行觀察思考”的問題，結果表明，部分教師的教學依然過于依賴口頭講授，這在一定程度上造成了試題M8BO031的得分率與同層次問題相比不高的狀況。

試題M8BO031下列幾何體中，主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）

本題主要用來測試學生“借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律”這一直觀想象能力具體表現的水平狀況。本題要求學生能正確識別空間物體的主視圖、左視圖和俯視圖。能正確解答本題的學生的直觀想象能力處于C及以上水平，具有知識理解的能力。本次測試中，本題的得分率為97.3%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為99.2%、98.1%、94.8%和79.7%。

本題典型的錯誤為選擇D選項。教學中有很多不經意的做法、舉措，看似提高了學生的分數，實則扼殺了學生的想象力。一次聽七年級的課，有一道題是畫出正方體的平面展開圖，多數學生只用了不到一分鐘就把11種展開圖全都畫好了。問學生為什么畫得這么快，學生說老師要求我們按規律背下來了。這反映了一定的教學現狀，即關注的焦點幾乎集中在如何正確、迅速地解決問題，得到相同、刻板的“標準答案”，以及記住結論;而發現問題、分析問題過程中應該存在的想象和探求、討論的過程都被壓縮了。“以分數為準繩，以成績為標桿”的教育觀是阻礙甚至扼殺學生直觀想象能力發展的最直接原因。

教學中，借助模型給學生足夠的空間去想象探究，是發展學生直觀想象能力的基本前提。幾何教學，尤其是幾何概念教學中，如果能經常借助特殊模型（如平行四邊形、菱形、長方體、正方體等），讓學生通過直觀感知特殊模型中點、線、面的位置關系，積累圖形的表象，增強圖形的直觀感，養成由直觀到想象的思維習慣，則對培養學生的直觀想象能力具有明顯的促進作用。教學中，除了借助現成的模型之外，也可以利用活動課程讓學生制作模型，從而了解平面圖形是如何構造出空間圖形的，對平面圖形和空間圖形的對應位置關系形成清晰的認識。學生動手操作的過程也是平面圖形與立體圖形之間轉化關系的建構過程，能夠增強學生的幾何直觀意識，發展學生的空間想象能力。

二、依據語言描述畫（想象）出圖形

幾何的學習、研究離不開圖形，加強學生的識圖、畫圖能力顯得極其重要。培養學生的識圖能力時，教師要讓學生掌握最基本的圖形性質，掌握文字語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉化。比如，教學“三視圖”時，教師應該引導學生從左面、上面、正面三個不同的方向來觀察、分析立體圖形，了解圖形之間的對應位置關系，理解幾何體在各個方位的圖形特征。培養學生的畫圖能力時，教師應該引導學生嘗試脫離模型想象幾何體的特征，并畫出相應的視圖。依據語言描述畫（想象）出圖形，是培養學生幾何直觀、發展學生空間觀念、提高學生發現問題和分析問題能力的有效途徑。由本次質量監測結果可以發現，依據語言描述畫出圖形，是八年級學生的薄弱環節：學生要從數字、圖表、文字、說明等中提取適切的、關鍵的信息有一定的困難，文字語言、符號語言與圖形語言之間的轉換比較薄弱。

本題主要用來測試學生“借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律”這一直觀想象能力具體表現的水平狀況。本題要求學生能正確識別圖形運動前后的形狀、大小等位置關系和數量關系。能正確解答本題的學生的直觀想象能力處于A水平，具有知識創新的能力。本次測試中，本題的得分率為96.7%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為99.3%、97.9%、94.8%和78%。

本題典型的錯誤是沒有掌握“平面幾何圖形平移前后形狀沒有改變”的規律。在“圖形變換”（圖形的平移、軸對稱圖形的翻轉、中心對稱圖形的旋轉等）的教學中，應有意識地讓學生想象變換前后圖形形狀、大小等位置和數量之間的關系。

三、建立數與形的聯系意識

數學中，數與形是相互聯系、密不可分的。建立數與形的聯系，能加深學生對數學問題本質的理解和認知，從而使學生更快地找到解決數學問題的方法。建立數與形的聯系，本質是將幾何直觀的直觀性與空間想象的抽象性相結合，更加形象具體地體現數學知識“數”與“形”兩方面的本質屬性。理解數與形內在本質的一致性，建立數與形的聯系意識，是發展直觀想象能力的重要方法。遇到較難解決的數學問題時，可以依托幾何圖形表露的信息來確定其中的數量關系，也可以依靠數量關系來剖析當中的幾何圖形問題。也就是說，數形結合既可以利用幾何圖形對問題中的數量關系進行直觀感知，借助“形”的直觀性對“數”進行更好的理解和構建，在獲取關于“數”的結論過程中借助“形”將表象的知識材料進行轉化和重組，同時也是空間想象的過程，是“從數到形，從形到數”的相互轉化。

試題M8AS172小明計劃購買一雙運動鞋，在購物網站上瀏覽，看到如下頁表1所示的男鞋尺碼對照表。

中碼CHN220225230…250255260…美碼USA4.555.5…7.588.5…（2）以表1中的中碼為橫坐標、美碼為縱坐標，在如圖2所示的平面直角坐標系中描出相應的點。

本題主要用來測試學生“利用圖形理解數學概念，描述、分析數學問題”這一直觀想象能力具體表現的水平狀況。本題要求學生能通過平面直角坐標系對收集的數據進行整理，從中探求并發現規律。能正確解答本題的學生的直觀想象能力處于B及以上水平，具有知識遷移的能力。本次測試中，本題的得分率為93.5%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為99.5%、96.6%、85.7%和50.4%。

本題典型的錯誤是讀錯圖形中對應的數，或者沒有正確理解圖形中數的含義，導致描點錯誤。教學中，要引導學生正確識別數字、圖表、文字、說明等對應的信息，更要適時地引導學生借助圖形理解概念、解決問題。這樣既能增強學生的學習興趣，又能培養學生的直觀理解能力——直觀理解能力是直觀想象能力的核心要素。

比如，函數的圖像是初中數學的重要研究對象。函數圖像的幾何特征能有效地反映函數的基本性質，利用圖像有助于直觀尋找理解和解決函數問題的方法。函數教學中，很多教師為學生總結了大量的考試必備的“結論”和“規律”，結果造成很多學生知其然而不知其所以然，做題時由數聯想不到形，由形聯想不到數，甚至出現記憶錯誤和混亂的情況。很多時候，問題就出在學生沒有形成數形結合的眼光和思維。

此外，通過分析測試數據，我們發現，在學生直觀想象能力總體和各個具體表現的發展上，城區與鄉村之間、蘇南與蘇北之間存在顯著差異。這就要求我們：一方面，加強鄉村學校發展步伐，通過各種途徑和方式給予其補償性發展機會，從而縮小城鄉教育質量差距，在更高的水平上實現教育的優質均衡發展;另一方面，在平時的教學中加強對數據的分析，遵循學生直觀想象能力發展的規律，針對直觀想象的不同表現，結合學生的已有知識和能力水平，有所側重地安排教學任務，從而促進學生直觀想象能力的全面發展。

本文系江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進式改革重大研究項目”中“義務教育學科核心素養和關鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）的階段性研究成果。

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