例談初中生數學運算能力的培養

杭毅 石樹偉

摘要：基于2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中主要考查數學運算能力的10個小題及6個師生問卷題的監測結果，對初中生數學運算能力的培養提出教學建議：關注算理、算法教學，正確地運算;關注過程性教學，合理地運算;關注數學思想方法，簡潔地運算。

關鍵詞：學業質量監測數學運算算理算法

數學運算能力是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的能力。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。數學運算能力具體表現在兩個方面：一是對法則和運算律等認識清晰，根據具體題目的特殊性正確選擇法則和運算律;二是合理、簡潔設計程序，正確、迅速完成運算，通過運算解決問題。數學運算能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

數學運算能力 是數學關鍵能力的構成要素，是解決數學問題的基本手段，是演繹推理，是計算機解決問題的基礎。良好的數學運算能力有助于學生尋求合理、簡潔的運算途徑，解決問題;通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。

“正確、靈活、合理和簡潔”是衡量數學運算能力的四個主要特征?？v觀《義務教育數學課程標準（2011年版）》中三個學段數學運算能力所要達到的具體目標，可以看出數學運算能力的要求有三個層次，依次為“了解與理解”“掌握與應用”“綜合與評價”;再深入理解、細化具體，可以發現這三個層次的要求恰好體現為“正確地運算”“合理地運算”“簡潔地運算”。正確是對運算能力的最基本要求。數學概念、公式、法則、定理是進行數學運算的依據，數學運算的實質就是根據這些運算的依據，從已知數據及算式中推導出結果。合理是運算能力的核心，表現在運算要符合算理。簡而言之，在進行運算時，無論采用什么樣的形式，首先必須理解算理;只有理解了運算中的道理，才能理解和掌握運算方法，才能正確、迅速地運算。運算的簡潔性是指在運算過程中，所選的運算路徑短、運算步驟少、運算時間省。換言之，在保證運算的正確性、理解算理之后，要力求做到分析運算條件，探索運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算更加簡潔。

2018年江蘇省義務教育學生學業質量監測中，共設計了10個小題（下文提到的每一道試題都是其中之一，用具有明確含義的字母與數字組合進行編號——其中的“M”指數學，“8”指年級，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后三個數中前兩個代表題號，最后一個代表小題號）主要用以考查學生的數學運算能力。本文根據全省46262名八年級學生的測試成績、問卷調查以及4573名數學教師的問卷調查得到的數據分析，對初中生數學運算能力的培養提出相應的教學建議。

一、關注算理、算法教學，正確地運算

數學運算離不開“算理”“算法”“算力”這三個本質概念。算理是運算的道理，即解決為什么能這樣算的問題;算法是運算的方法，即解決怎樣算的問題;算力是運算的能力，即具體落實運算過程，實現運算目標。它們相輔相成，構成一個運算的整體。在教學過程中，教師應當加強學生對算理、算法的理解。

本次監測的調查問卷中，我們設置了關于師生“解方程（組）和不等式（組）時，讓學生（老師讓我們）明白運算的算理（依據）”的問題，結果有3%的教師選擇“有時”，1%的教師選擇“很少”;3%的學生選擇“很少”，2%的學生選擇“從不”。

本次測試中，我們設計了5道試題主要用以測試學生“對法則和運算律等有清晰的認識，根據具體題目的特殊性正確選擇法則和運算律”這一數學運算能力具體表現的水平狀況，從一定意義上反映出學生對算理、算法的理解。

試題M8BO011計算（-2）3的結果是（）

A. 6B. -6C. 8D. -8

本題要求學生能運用乘方的概念、運算法則進行運算。本次測試中，本題的得分率為87.3%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為94.3%、89.4%、75.8%和31.7%?？梢?，多數學生能夠理解（-2）3的意義。但是，還有6.7%的學生選擇“8”，4.6%的學生選擇“-6”，1.5%的學生選擇“6”，說明有約13%的學生還不能正確理解乘方的概念和運算法則。

乘方在小學階段只是初步了解，重點知識還是在初中階段學習的。因此在教學中，不僅要讓學生掌握“求n個相同因數乘積的運算叫作乘方”“乘方是一個三級運算”，還應該引導學生靈活地理解乘方與乘法之間的關系及乘方表示的簡潔性，了解其合理性與必要性，在理解算理的基礎上概括運算方法，同時加強對運算符號法則的理解與運用。

試題M8AS081計算12×3的結果是。

本題要求學生能運用二次根式運算法則進行簡單運算。本次測試中，本題的得分率為77%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為91.9%、78.5%、47.3%和11.0%。訪談結果表明，多數學生都是把12和3相乘得到36（或者把12拆成4×3等），發現結果等于6的，并且知道36是算術平方根，不能等于±6。但是，仍有6.4%的學生得到±6，說明這部分學生對平方根與算術平方根之間的區別與聯系不清楚;有3.8%的學生得到36，說明這部分學生不清楚36所表示的意義及如何進行二次根式的化簡;有11.7%的學生得出其他答案。

這表明，在二次根式運算的教學中，應該引導學生分析每步運算的算理、算法，明確其合理性與必要性;類比整數冪的運算學習二次根式運算，因為它們在算理與算法上是相通的。同時，在平時的教學中，需要多關注學力薄弱學生對基礎知識的理解與訓練，加強概念區別與聯系的教學。

二、關注過程性教學，合理地運算

運算教學要關注運算的過程，從而幫助學生學會合理運算：不能用不斷的訓練來代替理解的過程，不能用大量的重復來代替反思的過程，不能一味地追求運算的熟練程度和技巧;而應強化數學基礎知識的形成過程，強化數學基本思想的領悟過程，強化數學基本活動經驗的積累過程，強化數學運算能力的養成過程，從而讓學生真正感悟到數學運算的合理性。

本次監測的調查問卷中，我們設置了關于師生“教學（學習整式）運算法則時，引導學生（老師讓我們）了解法則的由來（形成過程）”的問題，結果有4%的教師選擇“有時”，1%的教師選擇“很少”;4%的學生選擇“很少”，2%的學生選擇“從不”。這反映出仍然有部分教師在運算公式、法則的教學中存在著“重結果、輕過程”的灌輸現象。

試題M8BS131解方程：x-12=x+3。

本題主要用來測試學生“合理、簡潔設計程序，正確、迅速完成運算，通過運算解決問題”這一數學運算能力具體表現的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為84%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為97.6%、91.0%、40.9%和4.6%。

經過統計，（1）僅第一步去分母正確，其余步驟均錯誤的學生占0.6%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+3。（2）到移項正確，但去括號錯誤或到去括號正確，但移項錯誤的學生占1.8%，如：x-1=2（x+3），x-1-2（x+3）=0，x-1-2x+6=0;或x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6-1。（3）能正確化為ax=b的形式，但最后一步將系數化為1時出錯的學生占1.4%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6+1，-x=7，x=7。（4）雖然寫了一些解答過程，但是沒有正確步驟的學生占9.5%，如：2（x-1）2=x2+32。

以上問題體現出，教師在教學過程中過分強調解一元一次方程的步驟，使學生只是按照老師要求的規定步驟進行運算，套用解題模式，或跟著感覺走，但不理解具體的算理、算法，不理解每步運算的依據。比如，去括號時直接將括號去掉，移項時直接將某一項從方程的一邊移到另一邊，系數化為1時直接將系數化掉或不注意符號等。

因此在教學中，教師要強化每一步運算的合理性，讓學生清晰地了解每一步運算的目的、依據及注意事項。比如，解一元一次方程，第一步為何要去分母？依據是什么？分數線有何作用？不去分母可不可以？去分母時為何要添加括號？之后為何要去括號？括號的作用是什么？去括號的依據又是什么？等等。同時，要引導學生靈活地運用等式的基本性質，多變地解一元一次方程，而不應過分強化五個具體步驟。另外，還要培養學生及時檢驗、糾錯的習慣。

三、關注數學思想方法，簡潔地運算

數學運算過程中蘊含著豐富的數學思想方法，靈活運用數學思想方法可以簡化運算。首先，數學運算過程是以數學概念、法則、公式、定理等知識為依據進行推理，建立數量關系并轉化為確定數量的過程，這一過程中蘊含著推理的思想以及由推理的思想具體化得到的轉化思想。其次，這種運算對象的形式轉化本質上是數學模型之間的轉化，是一種模型轉化為另一種模型的過程，其中蘊含著模型思想;數學運算過程是對數量關系抽象的符號形式進行加工的過程，其中蘊含著抽象思想。此外，在具體的轉化過程中，還會進一步用到諸如數形結合、分類討論等經典的思想方法。因此，數學運算教學要關注運算的思想方法，讓學生學會簡潔地運算。

試題M8AS141解方程組：x-2y=3，

2x-5y=3。①

②

本題主要用來測試“合理、簡潔設計程序，正確、迅速完成運算，通過運算解決問題”這一數學運算能力具體表現的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為78.1%，數學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為97.0%、81.3%、31.3%和2.9%。

經過統計，（1）有0.7%的學生只寫一個正確答案，沒有任何解題步驟。（2）有5.2%的學生能將方程①或②變形正確，但其他過程錯誤，如：①×2得2x-4y=6③，③-②得9y=3，y=13;或②-①得x-3y=0，故x=1，

y=3。（3）有9.9%的學生將兩個未知數的值都計算出來了，但不能正確表達方程組解的形式，如：x=9，y=3;x=9，

y=-3;x=9，

y=3或x=3，

y=9。（4）有9.9%的學生套用剛學習的解一元二次方程的格式書寫;或一開始運算就出現錯誤，如：①+②得3x+7y=6，或②-①得x-7y=0。（5）有14.1%的學生利用代入消元法求解。（6）有54.1%的學生利加減消元法求解。（7）也有學生通過消去常數項的方法求解。

學生在計算過程中出現運算符號錯誤的情況較多，主要原因還是不能正確運用運算法則，不理解等式的基本性質。在教學中，應該引導學生了解數學學習都是遵循化復雜為簡單、由特殊到一般的規律的;強調二元一次方程組、三元一次方程組乃至多元方程組求解的指導思想是消元，化高元為低元，從而加強對消元思想方法的理解。如何消元？可以通過一個方程變形，用一個未知數表示另一個未知數，代入另一個方程，消去一個未知數;可以通過將兩個方程相加（或相減），消去兩個方程中系數互為相反數（或相同）的項;也可以消去常數項，尋找兩個未知數之間的關系。

總之，數學運算能力是運算技能與推理能力的結合。因此，要能正確、快速地算出結果，就要善于觀察算式的結構特點，學會選擇合理的運算路徑。學生掌握了數學運算的各種解題思路、方法后，還要化繁為簡，以簡馭繁，從而感受數學運算過程中的樂趣，自然而然地培養數學運算能力。

本文系江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進式改革重大研究項目”中“義務教育學科核心素養和關鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）的階段性研究成果。

參考文獻：

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[3] 李敏，吳曉紅，高銀.淺析運算能力的內涵[J].數學學習與研究，2014（7）.