例談初中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

姜鴻雁　趙維坤

摘要：基于2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中主要考查數(shù)學(xué)抽象能力的8個(gè)小題及6個(gè)師生問(wèn)卷題的監(jiān)測(cè)結(jié)果，對(duì)初中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)提出教學(xué)建議：創(chuàng)設(shè)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“具體”與“抽象”的辯證關(guān)系;搭建平臺(tái)，助力學(xué)生“理性抽象”能力的形成;放手閱讀，讓學(xué)生“穿行”于各種語(yǔ)言之間。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè) 數(shù)學(xué)抽象能力 感性具體 理性抽象 數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的能力。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)在四個(gè)方面：一是感悟現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，估算運(yùn)算結(jié)果;二是用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;三是從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念;四是借助符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)抽象能力從高到低可以分為A、B、C、D四個(gè)水平。

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成要素，是最基本的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)自身發(fā)展、應(yīng)用的基礎(chǔ)。它源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)，基于具體又高于具體，體現(xiàn)“九九歸一”“和而不同”的哲學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，就是培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”的能力和“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的認(rèn)識(shí)事物的本領(lǐng)，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展有著不可替代的作用。

2018年江蘇省義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，共設(shè)計(jì)了8個(gè)小題（下文提到的每一個(gè)試題都是其中之一，用字母與數(shù)字的組合進(jìn)行編號(hào)）主要用以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。本文根據(jù)全省46262名八年級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)、問(wèn)卷調(diào)查以及4573名數(shù)學(xué)教師的問(wèn)卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對(duì)初中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、創(chuàng)設(shè)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“具體”與“抽象”的辯證關(guān)系

數(shù)學(xué)因?yàn)楦叨瘸橄螅尣簧賹W(xué)生望而卻步，讓不少人認(rèn)為是“冰冷的美麗”。所以在教學(xué)過(guò)程中，面對(duì)一個(gè)個(gè)具體現(xiàn)象，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察，思考它們背后的共性，并表達(dá)這一共性”的過(guò)程，體會(huì)到“抽象”是一個(gè)個(gè)“具體”現(xiàn)象共性的表達(dá)，產(chǎn)生“九九歸一”之感;同時(shí)，面對(duì)“抽象”的結(jié)果，也要讓學(xué)生賦予它一個(gè)個(gè)“具體”的背景，使它富有“活力”，感受到抽象背后的“和而不同”。

試題M8BS111根據(jù)圖1計(jì)算：1+3+5+7+…+（2n-1）=。（結(jié)果用n表示，其中n是正整數(shù)）

本題主要用來(lái)測(cè)試學(xué)生“借助符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算與推理，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”這一數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測(cè)試中，本題的平均得分率只有45.6%，解答不正確的占43.4%，沒(méi)有作答的占11.0%;數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的平均得分率分別為70.6%、25.0%、7.0%和2.8%。這與命題時(shí)預(yù)估的得分率62%有一定的差距。

由學(xué)生的錯(cuò)誤解答可以看出，有超過(guò)一半的學(xué)生不能夠自如地在符號(hào)語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言之間切換。他們面對(duì)圖中的多個(gè)“┐”組成的圖形，不能發(fā)現(xiàn)數(shù)字之和與小圓圈總數(shù)、小圓圈總數(shù)與小圓圈構(gòu)成的“正方形的邊長(zhǎng)和面積”之間的關(guān)聯(lián)。如果學(xué)生能在“抽象”與“具體”之間自如穿梭，面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，就能夠自覺(jué)地轉(zhuǎn)化到簡(jiǎn)單的具體的情形：當(dāng)n=1時(shí)，圖形是什么樣的，結(jié)果是什么？當(dāng)n=2時(shí)，圖形變成什么樣，對(duì)應(yīng)結(jié)果是什么？n=3呢？n=4呢？……其中蘊(yùn)藏的規(guī)律便會(huì)在這一個(gè)個(gè)“具體”中慢慢顯露出來(lái)，解決本題就不困難了。這一思維過(guò)程體現(xiàn)了化抽象為具體、化一般為特殊、化難為易的思想方法。

“用字母表示數(shù)”是初中階段正式跨入“數(shù)學(xué)抽象殿堂”的標(biāo)志，對(duì)整個(gè)初中階段各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。下面便是筆者設(shè)計(jì)的蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第3章第1節(jié)“用字母表示數(shù)”教學(xué)中具有代表性的兩個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1

2+3=3+2;1/2+（-3）=（-3）+1/2;（-6）+（-3/5）=（-3/5）+（-6）。請(qǐng)同學(xué)們模仿以上例子，寫(xiě)幾個(gè)類似的式子。

設(shè)計(jì)該環(huán)節(jié)時(shí)，預(yù)設(shè)學(xué)生在仿寫(xiě)的過(guò)程中，首先會(huì)慢慢在心理上感覺(jué)到“麻煩”，其次會(huì)發(fā)現(xiàn)仿寫(xiě)的式子之間的共性，第三會(huì)聯(lián)系小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)的加法交換律，從而產(chǎn)生用字母表示數(shù)量關(guān)系的愿望與結(jié)果。事實(shí)上，在課堂上，仿寫(xiě)到第六位學(xué)生時(shí)，他直接說(shuō)道：“像這樣的式子寫(xiě)不完啊，直接a+b=b+a！”這句話道出了數(shù)學(xué)抽象的魅力。

筆者認(rèn)為，“用字母表示”最好不是教師發(fā)出的“指令”，而是學(xué)生內(nèi)心自發(fā)的需要。這是學(xué)生“認(rèn)可”數(shù)學(xué)抽象的好機(jī)會(huì)。把握好這個(gè)機(jī)會(huì)，需要教師替學(xué)生創(chuàng)造“內(nèi)需”的氛圍。所以，筆者給足學(xué)生“仿寫(xiě)”的時(shí)間，“逼”學(xué)生感到這樣寫(xiě)下去無(wú)窮無(wú)盡，“逼”學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)不同式子之間的“共性”（本質(zhì)），并產(chǎn)生表達(dá)這一本質(zhì)的愿望。

環(huán)節(jié)2結(jié)合生活實(shí)際，對(duì)于式子（1-10%）a，你希望字母“a”表示什么？

該環(huán)節(jié)旨在給學(xué)生開(kāi)放的空間，創(chuàng)造由“抽象”回到“具體”的氛圍。學(xué)生的回答讓筆者欣慰，諸如：“我希望是我們國(guó)家沙漠的總面積，這樣我們的環(huán)境會(huì)越來(lái)越好。”“我希望是病人的人數(shù)，這樣健康的人越來(lái)越多。”……向善是人性之本，育人在潛移默化之中。

數(shù)學(xué)抽象對(duì)抽象思維能力要求高，數(shù)學(xué)抽象能力不可能經(jīng)過(guò)一節(jié)課或幾節(jié)課便形成。教師心中裝載著“抽象”與“具體”的辯證關(guān)系，充分為學(xué)生提供體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“火熱的思考”，切實(shí)體會(huì)到“具體”的“形象性”、“抽象”的“必要性”，從而既喜歡“具體”，又親近“抽象”，最終能夠面對(duì)“具體”提煉“抽象”，面對(duì)“抽象”回歸“具體”，并形成思維的習(xí)慣，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)便落地生根了。

二、搭建平臺(tái)，助力學(xué)生理性抽象能力的形成

從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)，是“感性具體”到“理性具體”的過(guò)程。隨著研究的深入，學(xué)生還得經(jīng)歷“理性具體”到“理性抽象”的過(guò)程：在較為復(fù)雜的情境中識(shí)別數(shù)學(xué)概念，根據(jù)對(duì)象的意義、性質(zhì)判斷對(duì)象的屬性以及其與相關(guān)對(duì)象之間的聯(lián)系與區(qū)別;利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，并進(jìn)行多方面的解釋。在教學(xué)過(guò)程中，教師要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)作準(zhǔn)確的預(yù)估，準(zhǔn)確定位學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)期給學(xué)生搭建適宜的“腳手架”（平臺(tái)），助力學(xué)生逐步形成“理性抽象”的能力。

試題M8AS162如圖2，分別以線段BD的端點(diǎn)B、D為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于A、C兩點(diǎn)，連接AB、AD、CB、CD。若AB=2，BD=2√3，求四邊形ABCD的面積。

本題主要用來(lái)測(cè)試學(xué)生“從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念”這一數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測(cè)試中，本題的平均得分率為69.1%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的平均得分率分別為93.4%、66.7%、9.2%和0.2%。

分析錯(cuò)誤解答，可以得到如下幾個(gè)主要原因：一是不能從作圖過(guò)程中抽象出四條邊都相等的信息，導(dǎo)致無(wú)法得到菱形的概念，自然無(wú)法解決問(wèn)題;二是菱形的結(jié)論純屬“目測(cè)”，主觀感覺(jué)得到，沒(méi)有經(jīng)過(guò)邏輯推理證明，所以不是運(yùn)用對(duì)角線的性質(zhì)解決問(wèn)題，而是過(guò)頂點(diǎn)A作對(duì)角線BD的垂線，并“默認(rèn)”垂足平分BD，“默認(rèn)”△ABD與△CBD的面積相等;三是運(yùn)用勾股定理時(shí)，只記“平方和”的形式，不識(shí)別斜邊與直角邊，得到錯(cuò)誤答案221;還有二次根式運(yùn)算不過(guò)關(guān)等。

拋開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的錯(cuò)因，不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)法從作圖的情境中抽象出所畫(huà)的圖形是菱形，是最主要的錯(cuò)因。這給我們一個(gè)啟示：學(xué)生在“理性抽象”的過(guò)程中，需要必要的“腳手架”（平臺(tái)）助力。以本題為例，可能在不少教師眼里，由這個(gè)作圖過(guò)程得到菱形的概念不難，但是對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，其實(shí)不然。雖然學(xué)生在小學(xué)里已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓，會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓（此時(shí)畫(huà)出的圓，筆者稱為“理性具體”，因?yàn)楫吘共煌诰唧w的圓形實(shí)物），但是對(duì)圓的本質(zhì)——到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（筆者稱為“理性抽象”）的學(xué)習(xí)在九年級(jí)。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在九年級(jí)學(xué)過(guò)圓的概念后，學(xué)生還需要一定時(shí)間的順應(yīng)與同化，更何況是八年級(jí)的學(xué)生？

教師面對(duì)教學(xué)內(nèi)容要有“高觀點(diǎn)”，面對(duì)學(xué)生還要“俯下身”。例如，從七年級(jí)到八年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)多次接觸尺規(guī)作圖，比如作一個(gè)角等于已知角、作已知角的角平分線、作已知線段的垂直平分線等。在必要時(shí)，教師要把所畫(huà)的圓弧上的點(diǎn)與圓心連起來(lái)，讓“心目中”的半徑——那些相等的線段“可視化”，從“無(wú)形”到“有形”，便于學(xué)生抽象出圖形與圖形之間的關(guān)系;還要引導(dǎo)學(xué)生思考作圖背后的數(shù)學(xué)原理，從而既有利于發(fā)展邏輯推理這一關(guān)鍵能力，又有利于從圖形與圖形的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念。

三、放手閱讀，讓學(xué)生“穿行”于各種語(yǔ)言之間

解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，常常是先閱讀自然語(yǔ)言，從中提煉數(shù)學(xué)信息，再對(duì)信息進(jìn)行加工，從而選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。能夠在自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格語(yǔ)言之間自如地切換，是數(shù)學(xué)抽象能力初步形成的標(biāo)志。

試題M8AS181如圖3，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字。它是由前12位數(shù)字和校驗(yàn)碼構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)分別代表“國(guó)家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼和校驗(yàn)碼”。

其中，校驗(yàn)碼是用來(lái)校驗(yàn)商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性的。它的編制是按照特定的算法得來(lái)的。其算法為：

步驟1：計(jì)算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34;

步驟2：計(jì)算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26;

步驟3：計(jì)算3a與b的和c，即c=3×34+26=128;

步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d，即d=130;

步驟5：計(jì)算d與c的差，就是校驗(yàn)碼X，即X=130-128=2。

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）《數(shù)學(xué)故事》的條形碼為9 787 534 546 47Y，則校驗(yàn)碼Y的值為。

本題主要用來(lái)測(cè)試學(xué)生“感悟現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義”這一數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測(cè)試中，本題的平均得分率為52.3%，數(shù)學(xué)總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在此題上的平均得分率分別為74.5%、37.0%、21.4%和6.7%。

對(duì)于這個(gè)測(cè)試結(jié)果，筆者認(rèn)為，學(xué)生的閱讀能力，尤其數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)任重道遠(yuǎn)。在日常教學(xué)中，不乏這樣的現(xiàn)象：教師為了節(jié)約課堂時(shí)間，不由自主地代替學(xué)生閱讀，代替學(xué)生從“生活”中抽象出“數(shù)學(xué)”，快速進(jìn)入“數(shù)學(xué)”，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題，并美其名曰“提高課堂效率”。實(shí)際上，在“被代替”閱讀的過(guò)程中，學(xué)生的閱讀能力得不到培養(yǎng)，從而喪失了發(fā)展抽象能力的機(jī)會(huì)。

下面是筆者講解一道應(yīng)用題的實(shí)錄：

（出示題目：某地區(qū)居民用電，按高峰時(shí)段與空閑時(shí)段規(guī)定了不同的單價(jià)。某戶居民5月份高峰時(shí)段用電量是空閑時(shí)段用電量的兩倍，6月份高峰時(shí)段用電量比5月份高峰時(shí)段用電量少40%，結(jié)果6月份的用電量和5月份的用電量相等，但6月份的電費(fèi)卻比5月份的電費(fèi)少25%，求該地區(qū)空閑時(shí)段民用電單價(jià)與高峰時(shí)段民用電單價(jià)的比值。）

師 同學(xué)們默讀題目?jī)杀椋欣щy的同學(xué)舉手。

（近一半學(xué)生舉手。）

師 （對(duì)一位有困難的學(xué)生）困難在哪里？

生 題目太長(zhǎng)，讀不懂什么意思。

師 分解題目的表述：“某戶居民5月份高峰時(shí)段用電量是空閑時(shí)段用電量的兩倍”這句話能理解嗎？可以通過(guò)什么方式表達(dá)這句話的數(shù)量關(guān)系？

生 能。可用字母a表示“5月份空閑時(shí)段用電量”。

師 你還能表示——

生 還能表示“5月份高峰時(shí)段用電量”“6月份空閑、高峰時(shí)段用電量”。可是還有電費(fèi)單價(jià)、電費(fèi)，弄不清關(guān)系。

師 當(dāng)數(shù)量關(guān)系復(fù)雜時(shí)，可以通過(guò)什么途徑將數(shù)量關(guān)系清晰地表達(dá)出來(lái)？

生 （齊）表格。

師 如何設(shè)計(jì)表格？

生 應(yīng)該包括5月、6月，還有空閑用電量、高峰用電量、空閑電費(fèi)、高峰電費(fèi)等。

（該生在黑板上畫(huà)出表1。）

（對(duì)于電費(fèi)的表示，有部分學(xué)生又出現(xiàn)困難。）

生哦，對(duì)了，再用字母表示空閑時(shí)段和高峰時(shí)段的電費(fèi)單價(jià)啊。

……

數(shù)學(xué)的信息常常“淹沒(méi)”在復(fù)雜的問(wèn)題情境與冗長(zhǎng)的文字表述中。這里，教師耐心地教會(huì)學(xué)生分解信息，抽絲剝繭，舍去事物的“物理屬性”得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，并思考如何將研究對(duì)象之間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)，讓學(xué)生逐漸能在自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格語(yǔ)言之間自如地“穿行”。

此外，根據(jù)我們對(duì)學(xué)生就“數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)”的問(wèn)卷題的調(diào)查結(jié)果可知，全省約有17%的教師給學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力的時(shí)間和機(jī)會(huì)不充裕或不夠充裕。因此，教師應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力當(dāng)作數(shù)學(xué)教學(xué)的“行動(dòng)指南”之一，給足學(xué)生閱讀、經(jīng)歷、體會(huì)的時(shí)間與機(jī)會(huì)，讓學(xué)生對(duì)待周圍的世界慢慢養(yǎng)成“用數(shù)學(xué)的眼光觀察”的習(xí)慣，對(duì)待周圍的事物慢慢形成“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的本領(lǐng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]董林偉，喻平.基于學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)的初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（1）.