例談初中生數(shù)學邏輯推理能力的培養(yǎng)

周雪兵

摘要：基于2018年江蘇省義務教育學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中主要考查邏輯推理能力的15個小題及6個師生問卷題的監(jiān)測結果，對初中生數(shù)學邏輯推理能力的培養(yǎng)提出教學建議：充分發(fā)揮學生的想象力;放手讓學生去體驗;引導學生掌握邏輯推理的方法。

關鍵詞：學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測 邏輯推理能力 想象力 體驗 推理方法

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的能力。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理具體表現(xiàn)在兩個方面：一是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;二是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。邏輯推理能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

邏輯推理是數(shù)學關鍵能力的構成要素，是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì)，對學生思維能力的培養(yǎng)具有重要作用。

2018年江蘇省義務教育學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，共設計了15個小題（下文提到的每一個試題都是其中之一，用字母與數(shù)字的組合進行編號）主要用以考查學生的邏輯推理能力。本文根據(jù)全省46262名八年級學生的測試成績、問卷調(diào)查以及4573名數(shù)學教師的問卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對初中生數(shù)學邏輯推理能力的培養(yǎng)提出相應的教學建議。

一、充分發(fā)揮學生的想象力

想象力是創(chuàng)新的基礎，對學生的終身發(fā)展至關重要。在課堂教學中，鼓勵學生發(fā)揮自己的想象力，對邏輯推理能力的提高有很大的促進作用。本次測試中，試題M8AO061是以生活中平板電腦的放置為模型，要求學生想象成所學的平面幾何圖形，涉及三角形內(nèi)外角關系的簡單問題，但學生的平均得分率僅為84.9%，反映了學生空間想象力的欠缺。調(diào)查問卷中，我們設置了關于師生“進行尺規(guī)作圖教學（學習尺規(guī)作圖）時，讓學生明白（老師讓我們思考）如何作圖、為什么這樣作圖”的問題，結果表明，部分教師的教學依然過于教條，限制了學生想象力的發(fā)揮，從而造成了有關作圖的試題（如M8AS163）的平均得分率僅為53.4%的狀況。

試題M8BS193小明和小莉玩搭火柴棒游戲。用3根、5根、7根火柴棒首尾依次相接，搭成一個三角形，如表1所示。

請回答下列問題：

（3）用18根火柴棒首尾依次相接，搭三角形，請你列出所有可能搭出的三角形三邊火柴棒的根數(shù)。

本題主要用來測試學生“從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學生能從“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”出發(fā)，結合已知條件和示例，通過分類討論，推斷某些結果。能正確解答本題的學生在邏輯推理上處于A水平，具有知識創(chuàng)新的能力。本次測試中，本題的平均得分率為64%，數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的平均得分率分別為83.7%、53.5%、26.3%和6.1%。

本題典型的錯誤為三角形邊長的重復、遺漏。訪談結果表明，部分學生審題后不能形成正確的想象，導致不能準確地畫出圖形。

想象力可以促使學生豐富自己的想象素材，擴大自己的知識范圍;可以幫助學生對知識進行形象加工，形成正確的表象，從而內(nèi)化為合情推理的能力。

培養(yǎng)學生想象力，課堂教學要關注以下三個方面：一是創(chuàng)設民主的氛圍，引導學生主動發(fā)言，鼓勵學生說出不同的見解。二是創(chuàng)設有利于學生想象的問題或情境，引導學生提出自己的想法，幫助學生進行深入的思考，從而促使學生的邏輯推理形式從無序到有序。三是鼓勵學生的質(zhì)疑精神，讓學生通過質(zhì)疑的方式來進行更多不同角度的思考與辨別，從而了解事物的不同側(cè)面，理解知識的內(nèi)在關聯(lián)，促進思考發(fā)散與聯(lián)結，更有效地開發(fā)邏輯思維能力。

二、放手讓學生去體驗

體驗重在個體親身經(jīng)歷，強調(diào)對事物直接感知，從而形成自己的經(jīng)驗。有效的教學應注重學生數(shù)學活動的體驗過程，關注學生的情感生成過程。調(diào)查問卷中，我們設置了關于師生“進行較復雜的證明題教學時（對于較復雜的證明題），引導學生（老師讓我們）先獨立思考，再討論交流”的問題，結果表明，在一些地區(qū)，存在灌輸式教學的模式，剝奪了學生自我體驗的過程。

試題M8AO041在如圖1的方格紙中，下列結論正確的是（）

A. AD∥BCB. AE∥DF

C. BC∥EFD. AD∥EF

本題主要用來測試學生“從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學生能從“平行線的判定方法”出發(fā)，結合方格紙中格點的特征和對格點的已有經(jīng)驗進行合理推斷。能正確解答本題的學生在邏輯推理上處于C及以上水平，具有知識理解的能力。本次測試中，本題的平均得分率為93.3%，數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的平均得分率分別為98.8%、95.6%、86.7%和55.4%。

訪談結果表明，部分學生對方格紙背景下平行線的判定方法了解不清，或?qū)Ψ礁裰刑N含的數(shù)學知識不理解。這反映了在實際教學過程中，部分教師對學生的課堂體驗的推進不夠。

在“平行線”教學過程中，方格紙是學生熟知的體驗工具。教師要講清方格紙中蘊含的數(shù)學知識，包括相等的線段、相等的角、全等的三角形等，引導學生通過畫經(jīng)過格點的不同直線，并對它們的位置關系進行直觀判斷，再加以驗證。

傳統(tǒng)的數(shù)學教學往往重演繹，輕歸納、類比，滿足于證明現(xiàn)成的結論，而很少讓學生經(jīng)歷探索結論、提出猜想的活動過程。而在數(shù)學學習中，發(fā)現(xiàn)結論與證明結論同樣重要，所以，在培養(yǎng)學生演繹推理能力的同時，也應該重視合情推理能力的培養(yǎng)。邏輯推理能力不是與生俱來的，需要通過學習體驗才能提高，所以，培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力應當作為數(shù)學教育的中心任務。初中生正處于推理能力發(fā)展的初期，也是推理能力發(fā)展的關鍵時期，所以，課堂教學中，要為學生提供豐富的情境，給學生足夠的時間和機會，促成學生主動地“做數(shù)學”“想數(shù)學”。

放手讓學生去體驗，課堂教學要關注以下三個方面：一是充分發(fā)揮數(shù)學實驗、數(shù)學學具的操作性、直觀性等功能，讓學生在思考問題時采取畫一畫、折一折、做一做等數(shù)學實驗的方式，有助于學生邏輯推理能力的養(yǎng)成。二是給學生足夠的時間去討論、交流，鼓勵學生進行小組合作式實踐活動，如調(diào)查統(tǒng)計、測量計算等，有助于學生理解和掌握知識，形成有效的思維習慣與方式。三是設計一些生活情境，引導學生用數(shù)學知識去思考解決問題，養(yǎng)成從多角度認識事物的習慣。比如，在“角”的教學過程中，要讓學生直觀地感受一些角的數(shù)量、形狀、大小，積累一些生活中常見的經(jīng)驗，從而讓學生對角度的直觀判斷不要出現(xiàn)大的偏差，有利于學生進行合情推理。

三、引導學生掌握邏輯推理的方法

邏輯推理能力是正確、合理思考的能力，是對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，是采用科學的邏輯方法準確而有條理地表達思維過程的能力。本次測試中，試題M8BS091是以平行四邊形為背景，考查平行四邊形的相關性質(zhì)的簡單問題，但學生的平均得分率僅為63.9%，反映了學生思維方法上的欠缺。調(diào)查問卷中，我們設置了關于師生“對于幾何證明題，引導學生（老師引導我們）用分析的方法尋找證明的思路，再有條理地表達證明過程”的問題，結果表明，一些教師在教學過程中對方法的養(yǎng)成不夠重視。

試題M8BS151、M8BS152如圖2，一塊四邊形紙板剪去△DEC后，得到四邊形ABCE，測得∠BAE=∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE。

（1）能否在四邊形紙板ABCE上只剪一刀，使剪下的三角形與△DEC全等？請說明理由;

（2）求∠D的度數(shù)。

本題主要用來測試“從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算”這一邏輯推理具體表現(xiàn)的水平狀況。本題要求學生能“從三角形全等的判定定理出發(fā)，按照已有的定理進行證明”，并能“從三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角的關系出發(fā)，按照已有的定理或法則進行計算”。能正確解答本題的學生在邏輯推理上處于C及以上水平，具有知識理解的能力。本次測試中，本題兩小問的平均得分率分別為78.2%、67.9%;數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在第（1）問上的平均得分率分別為98.5%、75.7%、26.9%和7.1%，在第（2）問上的平均得分率分別為96.3%、53.0%、10.3%和1.6%。

訪談結果表明，部分學生不理解“只剪一刀”的含義，或不能理解剪下的只能是一個三角形，從而不能找到與△DEC全等的三角形;部分學生不能證明∠ABC=∠DEC，從而不能正確證明兩個三角形全等;部分學生不能由第（1）問中全等的結論得到AC=DC或∠ACD=90°，從而不能求得∠D的度數(shù);部分學生作輔助線不正確，連接了BE，從而不能進行準確的轉(zhuǎn)化;部分學生知道∠BAC=∠D，但是不能利用條件求出∠BAC的度數(shù)，從而不能得到正確的答案。

因此在教學過程中，要引導學生掌握邏輯推理的一些基本方法，這有助于學生邏輯推理能力的養(yǎng)成與提高。比如，“尺規(guī)作圖”的教學過程實際上是一種對圖形的推理過程。在“尺規(guī)作圖”教學過程中，要讓學生思考“直尺、圓規(guī)可以用來做什么？”“要得到圖形，需要做什么？為什么這樣做？”等問題。

“圖形與幾何”領域的證明是初中數(shù)學教學的難點，也是阻礙學生邏輯推理能力發(fā)展的一個障礙。要突破這一難點和障礙，我們的課堂教學要引導學生掌握邏輯推理的方法。具體的措施有以下四點：

一是引導學生掌握三段論推理的基礎。三段論推理是重要的演繹推理形式，它是由兩個包含著一個共同項的性質(zhì)判斷推出另一個性質(zhì)判斷的推理。三段論中的三個性質(zhì)判斷分別為大前提、小前提和結論：包含大項的前提為大前提，包含小項的前提為小前提，包含大項和小項的判斷為結論。

二是引導學生用綜合法和分析法去思考問題。“由因?qū)Ч钡乃季S方法就是綜合法，它是一種順思維，由已知條件出發(fā)，結合數(shù)學的法則，不斷分析得到所要的結果。“執(zhí)果索因”的思維方法就是分析法，它是一種逆思維，由要證的結論出發(fā)，結合數(shù)學的法則進行逆向分析，從而逐漸接近已知條件。

三是關注證偽在邏輯推理能力培養(yǎng)過程中的作用。教學應當是一種由知識的不確定性到確定性的漸進過程。知識的不確定性階段是指提出問題和判斷問題的階段。證偽在這一階段扮演著重要的角色：證實性知識與證偽性知識相結合，是實現(xiàn)知識遷移和知識創(chuàng)新的必然選擇。比如，在判斷一個等式不成立時，引導學生舉例進行說明。再如，在判定平行四邊形的過程中，學生對一組對邊相等、一組對角相等的四邊形是不是平行四邊形，不能做出準確、快速的判斷，教師要慢節(jié)奏地引導學生去嘗試證明，在證明過程中遇到困難時嘗試舉出如下反例：

如圖3，△ABC中，AB=AC，在BC上取一點D，連接AD，把△ADC剪下并翻轉(zhuǎn)得如圖所示的四邊形ABDC。因為AB=AC，所

以∠B=∠C。因為翻轉(zhuǎn)，所以AC=CD，所以AB=CD。在四邊形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，顯然，四邊形ABDC不是平行四邊形。

四是關注解題在邏輯推理能力培養(yǎng)過程中的作用。波利亞分解解題的思維過程得到“怎樣解題”的表，將解題的具體過程分為“弄清問題”“擬定計劃”“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”四大步驟。在解題教學中，我們要利用波利亞的探索法，啟發(fā)學生聯(lián)想，引導學生學會聯(lián)想。長此以往，學生的邏輯推理能力就會得到良好的發(fā)展。

參考文獻：

[1] 董林偉，喻平.基于學業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測的初中生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展狀況調(diào)查[J].數(shù)學教育學報，2017（1）.