在理性分析中提升數學運算能力

丁益民

摘要：引導學生做好運算分析，幫助學生形成對數學運算的理性認識，提高學生的數學運算能力，是很有現實意義的。尤其是在解析幾何題的解決中，應該重視運算的節點分析，做好運算微觀思考;重視運算的過程分析，養成運算監控意識;重視運算的算理分析，總結運算基本經驗。

關鍵詞：數學運算能力 解析幾何 解題教學

研究表明，我國高中生的數學運算能力不盡如人意，特別是在學習解析幾何時，運算的問題更加突出，主要表現為畏懼運算、算不到底、不會巧算等。究其原因，一方面是教師只重視解題方法的傳授，而忽視對運算的深度分析，缺乏對運算的示范與指導，特別是缺少對運算的預估、調整與優化;另一方面則是學生自身對運算的經驗積累和方法改進不夠重視，運算的水平依舊停留在小學或初中階段，遠遠達不到學習解析幾何所需要的能級要求。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確了“數學運算”的定位：“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。”“通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神?！?/p>

因此，引導學生做好運算分析，幫助學生形成對數學運算的理性認識，提高學生的數學運算能力，是很有現實意義的。本文嘗試借助幾道解析幾何題的解決，談談筆者對數學運算能力培養的一些想法，敬請指正。

一、重視運算的節點分析，做好運算微觀思考

對于解析幾何題，教師往往在分析完思路后，便急匆匆地板演過程或讓學生自己演算。在這樣的過程中，學生體驗的更多的是原有認知結構中的運算經驗，而幾乎沒有新的運算經驗。此時，應該慢下來，引導學生對已有算法設計中的每個運算節點進行慢鏡頭式的分析，對每個運算節點可能遇到的思維障礙、路徑選擇等進行剖析，并給出合理的改進措施與優化方案。

例1如圖1，已知橢圓C：x24+y2=1上的兩點M、N關于x軸對稱，P是橢圓C上異于M、N的任意一點，直線PM、PN分別與x軸交于點R、S，O為坐標原點，求證：OR·OS為定值。

本題的算法設計（思路分析）如下：

1. 設出點P、M、N坐標（x0，y0）、（x1，y1）、（x1，-y1），并表示直線PM、PN的方程;

2. 求得直線PM、PN與x軸交點的橫坐標xR、xS;①

3. 計算xR·xS。②

在此基礎上，可以對其中的運算節點做進一步的剖析：

節點①是提升學生運算能力的一個重要節點。首先，在計算xR時，對-y0=y0-y1x0-x1·（x-x0），既可以直接展開后合并同類項，也可以先觀察等號兩邊的展開項，再按照某個字母的降冪順序依次書寫系數。兩種運算方式對學生思維的要求不同：前者是常規的展開運算，是單向的線性思維體現;而后者是對等式進行整體考量后的運算，是雙向的整體思維表現。其次，在計算xS時，習慣上會運用“同理可得”，但是實際上，很多學生并沒有真正理解“同理”的“理”在何處，因此，在最初運用“同理可得”時，教師應該講清楚“理”，并盡可能地讓學生自己完成，從而讓他們體會到如何進行坐標替換的思維操作。

在節點②處，可以著重引導學生觀察式子xR·xS=x21y20-x20y21y20-y21中字母出現的一致（如分子中的x21y20和x20y21）與差異（如分式中出現的縱坐標多，橫坐標少），從而形成消元的方向與決策。

不難看出，通過慢鏡頭式的算法分析，學生的思維訓練將由淺入深、從粗到細逐步展開，其中既有對已有運算經驗的強化與調整，也有借鑒已有結果的反思與模仿，還有對代數式觀察、運算對象監控等多重的思維訓練。由此，學生的數學思維品質和數學運算能力都將得到相應的提升。

二、重視運算的過程分析，養成運算監控意識

解析幾何運算讓很多學生望而生畏的一個重要原因是，對影響運算長度、速度等因素的預判容易出問題，具體表現為不能估測到選擇的運算方向將會產生怎樣的運算，以及難以估計到已有算法設計與自身運算水平的差異而導致的運算速度的差異。教學中，教師應該引導學生對已有算法設計中的運算過程進行分析，做好運算監控。

例2如下頁圖2，已知A、B分別為橢圓E：x24+y2=1的左、右頂點，C為（1，0），圓x2+y2=4上有一動點P在x軸的上方，直線PA交橢圓E于點D，連接PB、DC。

（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S;

（2）設直線PB、DC的斜率存在且分別為k1、k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。

本題第（2）問有多種運算方向（算法設計），其中一種如圖3所示。

在上述算法設計中，至少有三處運算可引導學生進行預判與調整：

在①處，一般而言，橢圓上的點有兩種設法：直角坐標（x0，y0）和三角參數形式（acosα，bsinα）。兩種設法各有特點。應該讓學生感受到不同設法的運算長度不同：設成直角坐標（x0，y0）簡單明了，但可能因為變量（字母）較多，后續消元時較易迷失方向，導致運算受阻;而設成三角參數形式（acosα，bsinα）變量較少，化簡方向不會亂，但對三角恒等變換的運算要求較高，可能因為對三角恒等變換的不熟練，導致運算受阻。同時，應該讓學生根據自身水平合理選擇設點方式，由此形成相應的活動經驗。

在②處，對已有直線之間斜率關系觀察的差異將影響運算的長度。若不能發現兩直線垂直的斜率關系，而先求出點P坐標，再表示k1，則會大大增加運算量。應該讓學生體會到通過觀察發現斜率之間的關系對運算長度的影響。

在③處，運算速度的差異體現在對常見代數結構信息反饋的差異上。若能注意到齊次分式而采取分離常數的運算操作，則比較容易獲得結果。否則，會逗留于此，延緩運算速度。

由此可見，通過對解題過程中各個環節的運算實施監控，學生能體會到預判運算長度、速度等的真正意義，實時地改進運算的策略和方向。這從根本上提高了運算的可控性，增加了運算的合理性。久而久之，學生將形成良好的運算意識和理性的運算習慣。

三、重視運算的算理分析，總結運算基本經驗

數學運算教學常常會變成追求速度、準確率的技能訓練，讓學生疲于“死算”，忙于“瞎算”。這樣的訓練方式對學生數學素養的提升是不利的。數學運算是演繹推理的一種形式，離不開算理的支撐。算理是客觀存在的規律，能為數學運算提供正確的思維方式，從而保證運算的合理性和正確性。實際上，每個運算環節中都蘊含著相應的“算理”，我們應該幫助學生分析這些算理，從而指導運算;讓學生體會到算理是進行一類運算的客觀規律，進而提高運算的嚴密性和可操作性。

例3如圖4，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（1， 0），離心率為22。分別過O、F的兩條弦AB、CD相交于點E（異于A、C兩點），且OE=EF。

（1）求橢圓的方程;

（2）求證：直線AC、BD的斜率之和為定值。

對于本題第（2）問，有學生這樣解答：

由OE=EF知直線AB、CD的斜率互為相反數，設直線AB的方程為y=kx（記為①），直線CD的方程為y=-k（x-1）（記為②），將方程①、②分別與橢圓方程x22+y2=1聯立，可解得點A、B的橫坐標分別為±22k2+1，點C、D的橫坐標分別為2k2±2（k2+1）2k2+1，所以kAC=yA-yCxA-xC=……kBD=yB-yDxB-xD=……

這里，學生運算受阻的原因是，過早地出現了含有根式的坐標，導致出現分子、分母都含有根式的復雜分式運算。教師可以對此予以指導，并揭示相應的算理：

指導1：不求根，先化簡再代入策略。

能不能不求根而直接利用韋達定理？為此，設出坐標是必要之舉，可通過坐標之間的關系進行化簡是優化運算的重要處理：kAC=yA-yCxA-xC=kxA+k（xC-1）xA-xC=k（xA+xC-1）xA-xC，kBD=yB-yDxB-xD=kxB+k（xD-1）xB-xD=k（xB+xD-1）xB-xD。這里，可以進一步引導學生思考：求kBD時是否可以借鑒kAC的形式將其中的坐標換成類似的坐標？這是一種操作性思維活動，即在已有思維成果的基礎上通過合情推理得到新的思維結果，無疑更有利于學生的思維訓練。

接下來，便是對上述兩式進行關聯性分析：變量之間有什么關系？變量的個數能否減少？學生在引導下，會發現A與B、C與D之間是相關聯的。而這些發現又使計算得以進一步優化：kAC+kBD=kxA+xC-1xA-xC+-xA+xD-1-xA-xD=k-2x2A-2xCxD+xC+xD（xA-xC）（-xA-xD）。經過優化處理，變量之間的關系變得更加清晰，為進一步使用韋達定理提供了心理暗示。

上述運算以分式求和“先化簡再代入”為算法——這在初中代數運算時早已學習過。這樣做的好處就是可適當減少一些數據的干擾和避免過早出現復雜分式的困境。這是一種算理的體現，應讓學生體會到。

指導2：先分后合，局部處理策略。

出現分式結構時如何避免形式的繁雜呢？實際上，對待分式化簡問題，往往可以將分式分解成若干部分后采用局部處理，再將各部分的結果合成為整體。經驗告訴我們，處理分式時，通常比較容易把握分子的運算。因此，可以先從分子入手計算，即-2x2A-2xCxD+xC+xD=-2×22k2+1-2×2k2-22k2+1+4k22k2+1=0。出現上述結果是很順利的。倘若結果不為0，可以引導學生進一步分析（還要計算分母），也照此運算，最后合成得到最終答案。

采用從局部到整體的處理方式，可以將復雜問題轉化成相對容易操作的問題進行研究，減少運算的壓力及多余運算的干擾。這同樣是一種算理。學生充分體會到各種算法下的算理時，便能自覺地產生同化與順應，逐步轉化為理性運算的能力。

參考文獻：

[1] 張小鴿.高中學生數學運算能力調查和分析研究[J].陜西教育（教學版），2012（9）.

[2] 陳玉娟.例談高中數學核心素養的培養——從課堂教學中數學運算的維度[J].數學通報，2016（8）.

[3] 石志群.對數學核心素養幾個問題的思辨[J].教育研究與評論（中學教育教學），2016（11）.