探尋聯系：運算教學深層建構的路徑

胡良梅

運算學習的枯燥性和運算出錯頻率的高發性是當前很多學生在學習運算這一內容時遇到的問題。由于學生對運算背后的數的概念沒有深度理解，對相關的算理、法則、定律和技巧沒有完全掌握，導致了他們的運算學習仍停留在孤立、浮躁的狀態，容易“只見樹木不見森林”，其零散膚淺的知識結構缺乏再生力。問題出在哪？從教師教學的角度進行剖析，目前的運算教學的現狀還存在有如下誤區：重法則，輕本源;重操作，輕內化;重算理，輕算法;重新授，輕練習;重單一，輕豐富;重結果，輕思維。因此，教師要探尋運算知識的內在聯系，凸顯隱藏在教材背后的深層網線，幫助學生形成系統的認知結構和思維體系，讓學生的運算思維走向通透，從而形成扎實豐富的運算能力。

數的認識和數的運算之間有著內在的聯系，數概念是運算教學的基石，理解運算技能背后的數概念的本質，建立相關核心概念的聯系，是運算教學的本源。整數、小數、分數的加減乘除運算，它們的運算實質都是都是對結果的“計數單位和計數單位的個數”的探尋。因此，數認識的教學要突出對“計數單位”的理解，而數數活動具有不可替代的作用。

（一）自然數是“數”，是數出來的累加單位

學生學習自然數，離不開數數，通過1個1個地數、10個10個地數，可豐富學生對“數”的認識，透徹理解“數位、計數單位”等基本概念。加法的本質就是“接著數計數單位”，減法是往后倒著數，乘法是幾個幾個地往前數，除法是幾個幾個地往后數。因此，教學中，教師一定要重視設計有價值的數數活動，要讓兒童有數數的興趣和需求，并在數數的過程中有思維的投入，感受計數單位的重要性，積累活動經驗。

（二）分數是“數”，是數出來的累加單位

通常情況下，在學生的思維中并不承認分數是個“數”，如果答案是一個分數，學生一般都要化為小數，心里才踏實。是什么原因造成這樣的認知偏差呢？主要原因是：分數學習時，一直強調平均分，強調“比率”的關系。其實，同自然數、小數一樣，分數也是其分數單位累加的結果，即先產生分數單位，再數一數單位的個數。從這樣的角度來學習分數，自然數、小數、分數的結構就一致了，就能更容易認可分數是一個“數”。這樣的認識角度，更自然，更有生長力，更加有利于學生理解分數的四則運算。

（三）小數是“數”，是可以數出來的

“位置制、十進制”是小數與自然數的本質聯系。在小數意義的學習中，體會計數單位的拓展非常重要，單位越小度量的結果越精確，因此需要產生更小的計數單位。自然數中，計數單位最小是1，更大的數可以看作是1的累積，而小數的計數單位，每次都是平均分10份，是對1的逐步分解?！坝嫈祮挝慌c其個數乘積的累加就得到全部‘數’”，自然數、分數是這樣，小數也是如此。體會“單位”的意義，再將小數放在更加結構化、抽象化的“數位順序表”中來認識，則就建立了小數與自然數的相同結構，同時也就建立了小數的運算和自然數運算的相同結構。

理解算理、掌握算法是運算教學的“一體兩翼”。算理是算法的理論依據，算法是對算理行為的提煉，使算理可以操作化。學生探索算理算法的過程一般會經歷動作、形象、語義、數學符號的表征方式。這四種方式不是單一的遞進關系，而是相互交融的。適時恰當的追問與強化，可以幫助學生建立不同方式的內在聯系，消除不同表征之間的模糊認識，建立算理與算法之間的深層聯系。

（一）構建動作表征和數學符號的內在聯系

為了直觀理解算理，許多教師會在教學實踐中設計一些操作活動，但往往只停留在動作表征的層面，沒能通過操作活動促進數學思維，沒能讓操作、算理和算法緊密結合并建立聯系。

例如，計算整數退位減“72-48”，在學生操作后的交流階段，可設計以下問題：①選擇小棒或算珠操作，所用學具不同，計算過程卻有一步是相同的，誰發現了？為什么都要拆換？（個位上“2-8”不夠減，）②個位“2-8”不夠減，怎么辦？用小棒是怎樣操作的？用算珠操作時又是怎么做的？③從整捆的小棒中取出一捆拆開，在豎式上怎么表示？為什么豎式中7的頭上有個“點”？這個“點”，它讓誰發生了改變？

這樣的適時追問，可以引導學生建立抽象的借位點與豐富的表象之間的聯系，可以促進學生透過現象發現本質，讓學生通融理解算理與算法之間的關系。

（二）構建表象份數與抽象單位的內在聯系

同分母分數相加減，借助學生自己表示出的圖示和交流，可以發現，學生大多是從“直觀份數”的角度去理解算理，很少能想到計數單位。因此就需要教師在組織交流時適時追問：這里的一份用分數表示就是多少？兩個加數都和哪一個分數有聯系？換個角度，更深入地思考，我們還可以怎樣想？這樣的追問，可以指引兒童思考：8等份中的4份加3份，實際上就是4個加3個，也是“相同計數單位的個數相加減”。

（三）構建符號表征和本質算理的內在聯系

計算不同位數的小數加法，學生在自主探索中會出現“末尾添零對齊”的計算方法。之前三年學習的整數加減，都是個位對齊末尾對齊，這是學生在進行自覺的同化和順應，但是他們關注的只是表面的符號現象，對本質的算理還沒有清晰的認識。這時，教師可以通過合適的追問促進深度理解：為什么要添零呢？為什么要補齊數位呢？末位對齊，最終目的是什么？從而可把學生的思維聚焦到“相同數位對齊，相同計算單位直接相加”的深層理解上。

當然，理解算理，掌握算法，不能只是新課中的一次性學具操作，不能只是片刻的粉飾，還需要適時適量的形式豐富的鞏固練習。

運算教學，既需要在直觀形象中理解算理，也需要讓學生掌握抽象的運算法則，更需要引導在學生練習中逐步抽象出運算規律，從而切實發展其運算能力。

（一）在體驗中獲取形式算法

如一位數乘兩位數的豎式計算，還有乘數中間有0 的乘法豎式等，在學生經過自主探索，形成初始豎式后，教師不必過早地抽象出一般的簡便算法，而應該讓學生運用這種初始模式鞏固練習幾組題目，再引導學生觀察比較，異中求同，在體驗中產生簡化豎式的需要，自然地抽象出簡化模式。要讓學生充分體驗由直觀運算到形式化運算的演變過程，達到對算理的深層理解和對算法的切實掌握。

（二）在觀察中獲得抽象規律

如把假分數化成帶分數，關鍵是理解這個假分數里去掉整數部分之后還剩余多少個分數單位，方法是分子除以分母。連續計算一組題目后，可引導學生觀察，抽象出規律：除得的商就是帶分數的整數部分，余數是分子部分，分母不變。抽象出這樣清晰的規律后，學生在運用時才會輕松快捷。

（三）在對比中習得自動化技能

認知、分解、組合、自動化是把知識轉化成技能的四個階段。算理算法轉化成技能，需要一定的練習過程。如“9加幾”的計算，在學生掌握算法，能夠正確計算出結果之后，可進行專項和對比練習，激活學生的練習經驗，引導學生抽象出“9加幾，個位少1得十幾”的計算規律，適時縮減中間過程，幫助學生形成自動化技能。口算是一切運算必不可少的步驟，口算的正確與速度直接決定著運算能力的提高程度。

低年級段的新知教學立足于點，情有可原，但后續的計算教學就需要關注線和面，要引導學生對同類板塊進行對比分析，異中求同，幫助學生進一步構建更加系統穩固的認知結構。

（一）溝通不同數運算之間的算理聯系

如學習“異分母分數加減法”之后，就可以引導兒童溝通整數、小數、分數加減法的算理以及算法的聯系，可組織兒童計算：561-328， 6.8+2.74，在交流中及時引導兒童比較梳理：回顧這些加減法的計算，用到的數相同嗎？異中求同，還有相同之處嗎？從而發現規律：數字不同，計算方法不一樣，計數單位不一樣，但是算理都一樣，都是計數單位相同才能直接相加減。同理，乘除法運算的本質是計數單位及其個數同時相乘或相除。

（二）溝通不同運算教學之間的過程聯系

同一類知識的教學一般都有著類似的推進過程，如計算教學，一般按照“提出問題—探索算法—理解算理—歸納法則—內化算法”這一過程展開。明晰了這樣的學習結構，才能形成有效的學習策略，才能明確思維的方向，學生的自主學習才會有跡可循，才能富有成效地遷移到類似的學習活動中。

（三）溝通不同運算之間的思想方法聯系

對運算的學習還含有豐富的數學思想方法。在中高年段的學習中，教師要有意識地引導兒童去經歷尋找內在規律的過程，感受基本的數學思想，發展數學的思維能力。

計算和推理是相通的。實際上，所有的運算都是在轉化、推理：8加幾轉化為10 加幾，小數、分數加減回歸為整數加減，小數乘除轉化為整數乘除，分數除法轉化為分數乘法等。因此，在運算教學中，教師可以引導學生關注不同運算背后所隱藏的思想方法，突出共性，建立聯系，深化學生對思想方法的領悟，形成更上位的方法論，實現學習能力的新增長。

運算教學特別強調運算中所蘊含的思考價值。豐富運算的內容和形式，努力設計連點成線、連線成網的多維度的運算學習，才能觸及學生的興奮點，才能整體推進學生思維的發展。

（一）舉一反三，體驗思維的深刻性

舍去形式的玄虛，突顯結構的本質，以類比學習運算，才能促使學生的思維深刻性與靈活性發展。如解方程：56+8x=140，可變式為：14×4+8x=140，78-22+8x=140，41.8+8x+14.2=140，8×（7+x）=140，56+8x=14÷0.1等，計算之后，可以進行觀察比較：這些方程和56+8x=140相比，有什么相同和不同？從中，你獲得了什么學習經驗？從而清晰地建構解題方法：解方程時，把能夠直接計算的先算出來，再求解。

（二）逆向運轉，貫通思維的靈活性

皮亞杰指出：“思維的可逆性是學生智力發展的重要標志。”把條件和問題互換，引導學生觀察比較，促進知識結構轉化為學生的認知結構，這是解決實際問題教學常用的方法。實際上，在運算教學中也同樣適用。例如乘法的豎式計算，可出示乘積讓學生選擇算式：（ ?）×（ ?）=1692，兩個乘數分別是：①26和76，②46和47，③411和42，④36和47。這樣的逆向運轉聯系，讓單一的計算練習融入了估算、推理等思維的策略和智慧。

（三）數形結合，領悟思維的神奇性

把數學運算與幾何圖形結合進行思考，讓邏輯思維和形象思維建立親密聯系，可讓學生領悟到運算方法的神奇性。在小學數學的教學中，數形結合的實例有很多，如觀察小棒圖尋找規律、正方形數和三角形數等。再如計算：=……=（1）。（如下圖）

可以先出示前5個數連加，學生通常會選擇用通分計算，伴隨著加數的增加，學生會因為“通分比較復雜”，而自主尋求更簡便的策略。這時，可以再引導學生觀察加數的規律，啟發其進一步的思考。這樣，通過數與形的結合，滲透了極限思想，學生還從中領悟到了思維方法的神奇性，感受到了探究數學奧秘的有趣性。當然，此題還可以再進行變式練習，如將題中所有的加號改為減號，去掉最后面的一些分數等。

（四）定義運算，領略思維的通透性

一種運算就是兩個數與結果之間的一種對應法則，如同樣的兩個數字30和15，中間添上加號，得數是45，若換成除號，得數就會變成2。因此，對應法則不同就是不同的運算。學生常用的運算方法是加、減、乘、除，在實際的教學中，還可以定義一些新的運算形式，以開拓學生的視野，讓他們領略抽象思維的通透性。例如，設A，B表示數，規定A*B =6×A+B÷4，試計算12*20。也可以開發一些非常規的運算任務，讓學生通過嘗試反思，使其運算思維的通透性走向多維。

對于聯系的突出強調是小學數學教育教學一個普遍的發展趨勢，因為小學數學教育的核心是思維的教育，而數學知識之間的聯系則是構建思維體系的“骨架”。充分挖掘數學知識之間深藏著的聯系，讓學生的思維走向通透，培養學生的數學眼光，發展學生的數學素養，才是數學教學的本真回歸。

（責任編輯：楊強）