從一道數(shù)學(xué)題的解法看我們?nèi)绾胃鴶?shù)學(xué)一起成長

張建軍

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是初、高中知識銜接的一個(gè)重要知識點(diǎn)。因此，也是中考的一個(gè)重點(diǎn)考查內(nèi)容。本文試著從初中到高中，再到大學(xué)知識的方法，通過對該題的不同解法的分析，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在我們成長的不同階段，給我們帶來的不同感受。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；三角形面積；最大值；行列式

筆者有幸參加了一次面向初中生的自主招生考試的閱卷工作，其中一道“壓軸題”引起了筆者的興趣。題目是這樣的：已知二次函數(shù)的圖像和x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，和y軸的交點(diǎn)是C（0，-4）。點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像上位于直線BC下方的一點(diǎn)。如圖一所示。

圖一

（1）求該二次函數(shù)的解析式。

（2）是否存在點(diǎn)P，使得是以 OC為底邊的等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。

（3）當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和面積的最大值。

題目的第（1）問，是考查學(xué)生用“待定系數(shù)法”求二次函數(shù)解析式，難度不大，有不少學(xué)生做出來了。

在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的解析式常用的有三種表達(dá)方式，即一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式（兩根式）（a≠0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.顯然這一問用“頂點(diǎn)式”就不合適了，用“一般式”和“交點(diǎn)式（兩根式）”這兩種方法應(yīng)該都可以，不妨都來嘗試一下。

方法一：設(shè)二次函數(shù)的解析式為.

將A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得解之得

∴二次函數(shù)的解析式為

方法二：由于二次函數(shù)的圖像和x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，因此可設(shè)二次函數(shù)的解析式為.

將C（0，-4）點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=1.

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x-4

對比這兩種方法，不難看出方法二更簡潔一些。我們在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)，這兩種方法都有學(xué)生使用。

題目的第（2）問，是考查等腰三角形的性質(zhì)。到線段OC的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段OC的垂直平分線上，所以點(diǎn)P應(yīng)該是線段OC的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)。解法如下：

作線段OC的垂直平分線DP，交線段 OC于點(diǎn)D，交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P.如圖二所示。

圖二

∵PO=PC，則點(diǎn)P即為滿足條件的點(diǎn)。

∵C（0，-4），∴D（0，-2）.故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2。

令解得或（舍去）。

∴存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為。

從這一問的解答過程也不難看出，如果題設(shè)中沒有“點(diǎn)P在直線BC的下方”這一限制條件，則滿足條件的點(diǎn)應(yīng)該有兩個(gè)，它們的坐標(biāo)為。

從閱卷的過程來看，這一問的難度比第（1）問的難度稍微大些，但還是有不少學(xué)生做出來了。

關(guān)于第（3）問，在初中教材里，三角形的面積計(jì)算問題當(dāng)然首先考慮公式（其中a為三角形的底邊，h為底邊上的高），同時(shí)由于PB和PC這兩條邊長都不確定，所以其它公式也就可以不用考慮了。但是如果直接應(yīng)用公式，你就會發(fā)現(xiàn)由于沒有“垂直”這個(gè)條件，“高”很難直接找到。看來只能創(chuàng)造“垂直”，去發(fā)現(xiàn)“高”了。

考慮到點(diǎn)P的坐標(biāo)本身就是與坐標(biāo)軸“垂直”的兩個(gè)量，所以可以嘗試從點(diǎn) 向坐標(biāo)軸引“垂線”的方法。

方法一：過點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為 E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖三。

圖三

設(shè)點(diǎn)p（x0，y0），其中。則 E（x0，0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直線BC的解析式為y=x-4。

∴F（x0，x0-4）

∴PF=x0-4-y0

將代入，可得

。

∴當(dāng)x0=2時(shí)，S△PBC有最大值8，此時(shí)y0=-6。

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）時(shí)，的面積有最大值，且最大值為8。

從上面的解題思路來看，通過向x軸作垂線，將三角形的面積分割為兩個(gè)三角形面積的和，從而巧妙地得到了“高”，使問題得以解決，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”的力量。不難看出，第（3）問的難度還是比較大的，在閱卷過程中，我們還是發(fā)現(xiàn)了有幾個(gè)學(xué)生也恰恰是用了這種方法得到了正確答案。同時(shí)，受方法一的啟發(fā)，既然“過點(diǎn) P向x軸作垂線”這種方法可以，那么“過點(diǎn)P向y軸作垂線”也應(yīng)該可行，不妨也去嘗試下。

方法二：過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為 E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖四。

圖四

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中.則 E（0，y0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直線BC的 解析式為y=x-4。

∴F（y0+4，y0）

∴FP=x0-y0-4。

以下同方法一。

看來，“過點(diǎn)P向y軸作垂線”的方法也能起到將三角形的面積分割、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積“和”的作用，確實(shí)也是可行的。

這時(shí)，可能有學(xué)生會有這樣的疑問：如果點(diǎn)P的位置是拋物線上靠近弓形頂部的位置，那么按照方法二的做法，三角形的面積還是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積“和”的形式嗎？為了一探究竟，我們也去嘗試一下，見圖五。

圖五

此時(shí)點(diǎn)F落在線段BC的延長線上，且 E（0，y0），F(xiàn)（y0+4，y0），以及FP=x0-y0-4，仍然成立。

不難看出，此時(shí)三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的“差”，但結(jié)果依然是一樣的。

盡管兩種思路有相似之處，但是方法二“過點(diǎn)P向y軸作垂線” 時(shí)，有可能出現(xiàn)與線段BC或者其延長線相交這兩種情形，增加了問題的復(fù)雜性。這也許正是我們在閱卷的過程中，沒有發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用該方法解答的原因了。不管是方法一還是方法二，都需要做“輔助線”將三角形的面積進(jìn)行分割，考查學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”能力，這種思路還是有一定難度的。

但在高中數(shù)學(xué)中，我們在掌握了點(diǎn)到直線的距離公式之后，這種問題的解答思路就相對顯得簡單了一些。在中，由于底邊 的長是固定的，所以高越大，的面積也就越大。當(dāng)點(diǎn)P距離直線BC最遠(yuǎn)時(shí)的面積達(dá)到最大值。

點(diǎn)P在什么位置時(shí)距離直線BC最遠(yuǎn)呢？從圖像來看，顯然是一條與直線BC平行的直線與拋物線相切時(shí)切點(diǎn)的位置。如圖六所示。

圖六

方法三：∵B（4，0），C（0，-4）， ∴直線BC的解析式為y=x-4.

則與直線BC平行的直線可設(shè)為y=x+b.

當(dāng)該直線與拋物線相切時(shí)，由消x得

x2-4x-（4+b）=0----------（※）

∴△=（-4）2+4×（4+b）=0

∴b=-8

此時(shí)方程（※）的解為x=2.

將x=2代入直線方程y=x-8可得y=-6

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6），它到直線BC的y=x-4距離為：

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）時(shí)，的面積有最大值8.

當(dāng)然，我們也可以用“代數(shù)”的方法求出該距離的最大值。

方法四：∵B（4，0），C（0，-4），∴

直線BC的解析式為y=x-4.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中.

點(diǎn)P到直線BC：y=x-4的距離為：

而點(diǎn)P在直線BC：y=x-4的下方，

∴

當(dāng)x0=2時(shí)，d有最大值

將x0=2代入，得y0=-6

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）.的面積為

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）時(shí)，的面積有最大值8.

比較方法三和方法四不難看出，在尋求三角形“高”的最大值時(shí)，方法三是從幾何的角度來思維的，因此思路相對明朗、清晰。而方法四是從代數(shù)計(jì)算的角度來考慮的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的運(yùn)算、推理功能。同時(shí)，方法四中由于點(diǎn)在直線的下方，點(diǎn)到直線的距離公式要考慮去絕對值的符號問題，因此顯得相對麻煩一些。

盡管高中的方法顯然不用去考慮“分割”而作“輔助線”，思路相對初中而言簡單了很多，但由于要用到“點(diǎn)到直線的距離”這個(gè)高中知識點(diǎn)，我們沒有發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用這種方法的。所以，當(dāng)那名學(xué)生竟然用了高等數(shù)學(xué)中行列式的方法來解答，盡管該名學(xué)生沒能完整解答，也足以讓我們刮目相看了。下面我們一起來看下高等數(shù)學(xué)中用行列式來計(jì)算三角形面積的方法。

在平面直角坐標(biāo)系中，如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（c3，y3），且按逆時(shí)針方向排列，則△ABC的面積S可以簡單地用一個(gè)三階行列式來表示，即.（注：如果A，B，C按順時(shí)針方向排列，上述公式右邊得到一個(gè)負(fù)數(shù)，但其絕對值大小不變。因此，如果不考慮三個(gè)頂點(diǎn)的排列順序，三角形的面積可以在行列式的外面再加上絕對值來表示。）關(guān)于公式的推導(dǎo)這里省略。

注：.

方法五：設(shè)點(diǎn)p（x0，y0），其中.則 的面積為

.

∴當(dāng)x0=2時(shí)，S有最大值8，此時(shí)y0=-6

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）時(shí)，的面積最大值8.

從第（3）問的五種解法來看，當(dāng)然方法五最簡潔、明了，沒有什么繁瑣的思路，只需要代入公式就行了。

當(dāng)然，縱觀這五種解法，我們也不難發(fā)現(xiàn)，由于所學(xué)知識的局限性，在初中階段，需要用到分割、轉(zhuǎn)化等手段，通過“添加輔助線”等方法才能解決的問題，思路就顯得相對繁瑣，過程也就比較麻煩。到了高中之后，隨著所學(xué)知識的拓展，解題思路也就變得開闊了，在初中知識里面的所謂“難題”也就變得相對簡單了。而到了大學(xué)階段，在高等數(shù)學(xué)的眼里，再來看初中階段的一些問題，簡直就是“小兒科”了。

數(shù)學(xué)在其自身發(fā)展過程中，不斷地追求 “化繁為簡”的原則，從某種角度來說，這和“大道至簡”的思想，有異曲同工之處。

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