全國卷中離心率求值問題的解題策略

吳世朗

離心率是圓錐曲線的一個重要概念，是橢圓的定義、方程與幾何性質的一個交匯點.全國高考數學卷對圓錐曲線離心率的考查一直是個熱點，考查頻率很高，幾乎每年都有涉及。如2018理科卷Ⅱ12、卷Ⅲ11，文科卷Ⅰ4、卷Ⅱ11、卷Ⅲ11;2017理科卷Ⅰ15、卷Ⅱ9、卷Ⅲ10，文科卷Ⅱ5、卷Ⅲ11;2016理科卷Ⅱ11、卷Ⅲ11，文科卷Ⅰ5、卷Ⅲ12……全國卷對離心率的考查，基本上是以客觀題為主，偶有填空題解答題，中檔題居多，尤其近三年有加大的趨勢。

對于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求離心率的值問題;二是求離心率的取值范圍，但從全國卷來分析，基本上側重于求離心率的值。

一般來說，求離心率，只需要由條件得到一個關于基本量a，b，c的一個關系式，列出方程（組）或不等式（組），就可以從中求出離心率。如橢圓的離心率，雙曲線的離心率，就是由a，c或a，b的關系可直接求得離心率的值。但如果選擇方法不恰當，則極可能計算量大，運算繁瑣，小題大作了。本文從全國卷高考為例，探討分析離心率求值的解題策略。

一、直接利用題目中已具有的條件，建立等量關系。

有些試題中題意顯然，等量關系已存在，解題思路是根據已有的關系，直接列出方程或方程組。

例1（2016年全國卷1文數5）直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】設橢圓（a>b>0），根據題意直線l方程為，利用點到橢圓中心到l的距離為，由，即得。故答案選B。

【點評】因為題意中的等量關系很明顯，運用點到直線的距離公式，可以直接建立a，b，c的一個齊次等式。

例2（2014年高考新課標Ⅱ卷數學理20文20）設F1，F2分別是橢圓（a>b>0）的左右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.

（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率;

【解析】：由已知可得，故直線MN的斜率為將代入，解得，（舍去）.故C的離心率為.

【點評】本題已知直線MN的斜率，可用兩點的斜率公式建立方程。

二、緊抓圓錐曲線的定義、轉化到焦點三角形處理。

在橢圓、雙曲線上，若有某個點P到焦點F1，F2距離問題，一般上，要根據曲線的定義，抓住PF1+PF2=2a或|PF1-PF2|=2a，焦距長為F1F2=2c，轉化到焦點三角形△PF1F2，利用解三角形的有關性質進行求解，如常用正弦定理、余弦定理、勾股定理建立方程。

例3、（2013全國新課標Ⅱ卷文5）、設橢圓（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF1⊥PF2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】在中，因為，所以。又，所以，即橢圓的離心率為.故答案選D

【點評】本題利用直角三角形的性質，根據條件將三邊用c表示出來，再根據圓錐曲線定義找出a、c間的等式求出e.本題主要考查了橢圓的定義，幾何性質、數形結合與化歸思想。

三、挖掘題目中的等量關系，巧用平幾，進行轉化與化歸，

解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，用代數方法來研究幾何問題。圓錐曲線是解析幾何問題，因此當題目中條件關于a、b、c間的一個齊次等式不明顯時，充分挖掘題目中隱含的幾何條件，結合有關的平面幾何知識，將幾何問題與代數問題的進行等價轉化.如何將幾何問題轉化為代數問題？首先是審清題意，理解幾何對象的本質特征;其次恰當選擇代數化的形式，將幾何條件、幾何性質用代數的形式表達出來.數形結合，這樣往往能減少計算量，解決問題就會達到事半功倍效果.

（一）活用三角形知識，巧搭橋梁求解離心率.

例4、（同上例1）

【解法二】設橢圓（a>b>0），橢圓中心到l的距離為OA，由焦點三角形性質可，BF=a，在中，利用等面積法，可得，再由，即得。

【點評】方法二巧用直角三角形的等面積法建立關系式，比例1的解法運算量稍低些。

例5（2012年高考新課標全國數學理）設F1F2是橢圓（a>b>0）的左、右焦點，P是直線上一點，是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）

A、 B、 C、 D、

【解析】設直線與X軸交于點M，結合圖象可知，在直角三角形中，，所以。答案選C

【點評】本題考查數形結合的思想，從中挖掘直角三角形，等腰三角形的平面幾何性質，找到等量關系。

在幾何圖形中，利用解三角形和三角形相似等知識，轉化為邊角之間的關系解決解析幾何問題.在解題時，要善于將幾何性質轉化為代數間等量關系。能巧用幾何性質，數形結合，能減少計算量.

在涉及三角形題型中，經常要用到如下性質。（1）已知三角形兩邊垂直時，又有坐標條件則轉化為斜率乘積為-1或向量數量積為0;有長度條件時則考慮用勾股定理建立方程。（2）若已知條件是三角形某邊上的中線等于這條邊的一半，則轉化為直角三角形問題斜率或向量問題。（3）若已知條件是兩角相等（角平分線），則轉化為斜率問題：底邊水平或豎直時，兩腰斜率之和為0。（4）已知條件角是銳角、鈍角時，則轉化為向量數量積，斜率問題。

（二）關注與圓知識的結合，利用圓的幾何性質建立關系

圓是平面幾何中重要的內容之一，圓與橢圓、雙曲線經常性地交匯命題。能準確地作出圖形，挖掘幾何圖形中所隱含的條件，靈活運用好圓的有關知識，能使解幾問題較為簡捷地得到解決。

例6（2017年全國卷Ⅲ理10文數11）已知橢圓（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【解析】：以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，可得，，，因此C的離心率為答案選A.

【點評】本題利用直線與圓相切的幾何性質，建立關系。

在解決與圓有關的問題中，注意幾何性質與代數形式的轉化。如果題意中若考查的是點與圓的位置關系，則轉化為點與直徑兩端點的向量數量積與“0”比較大小，或運用兩點的距離公式與半徑比較;若考查的是直線與圓相切、相交的問題，則轉化為直角三角形問題，可能要用到勾股定理、點到直線的距離公式、弦長公式.

（三）點共線問題，轉化為斜率或向量問題。

坐標法是解析幾何中最基本的方法，是以坐標系為橋梁，把幾何問題轉化成代數問題。而斜率公式、向量運算也是與坐標運算緊密相連，在涉及點線問題，利用它們之間坐標的聯系，進行化歸轉化為斜率或向量問題，利用斜率或向量相關知識，建立方程。

例7（2016年全國卷Ⅲ理數11文數12）已知O為坐標原點，F是橢圓（a>b>0）的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）

【解析】：設則直線l的方程為，OE的中點由于三點共線，可得，整理得，橢圓的離心率。答案選A。

【點評】本題是利用三點共線，轉化為斜率相等，建立等量關系。

四、利用點在曲線上，列出方程，建立關系

有些試題等量關系不明顯，幾何性質轉化有難度，但題目中發現有某個點在曲線上，點在曲線上點的坐標是這個方程的解，可以根據已知條件，用關于含有a，b，c的代數式表示這個點的坐標，然后代入曲線方程中，從而建立關系。

例8（2015新課標Ⅱ理11）.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（）

A. B.2 C. D.

【解析】：設雙曲線方程為（a>0，b>0），?ABM為等腰三角形，則，過點M作軸，垂足為N，在直角三角形MBN中，，將M代入雙曲線方程中，可得b=a，所以雙曲線的離心率.故選D

【點評】本題抓住題意，表示出點M的坐標，利用點M在雙曲線上，從而列出方程。無獨有偶，在2018全國卷的考查中，仍有例8的影子。

例9（2018年全國卷Ⅱ理數12）已知F1，F2是橢圓（a>b>0）的左，右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（ ）

A. B. C. D.

【簡析】△PF1F2為等腰三角形，求得，過A且斜率為的直線方程為y=（x+a），將點P代入，或者由，易得。所以答案選D.

【點評】本題的解法與例9相似，雙曲線問題改為橢圓問題，點在雙曲線上改為點在直線上。

總之，在解決有關離心率問題時，要審清題意，從題意中挖掘顯性的等量關系、隱性的幾何條件，建立方程，然后將其轉化為含離心率e的式子，進而求其值。在實際教學中，尋找等量關系，從哪種途徑入手，要有意識地培養學生，讓學生學會運用，才能真正掌握離心率的求法。

（備注福建省寧德市中學教育科學研究2018年度課題：“高考全國卷數學科試題特點及教學對策研究”。立項批準號：FJNDKY18-803）