淺談數學分析中用定義證明的關鍵

熊艷琴

摘要：數學分析中經常遇到要用定義的習題，這些很讓當代大學生頭疼。本文提供了一種證明過程中的小訣竅，可以讓學生更好的理解定義以及如何巧妙的完成證明。

一、問題的提出

《數學分析》是數學專業學生進入大學學習的第一門專業基礎課，而數列極限中的定義也是初學學習《數學分析》的一個重要的概念，下面我們來看看其是如何定義的。

從上面定義可以看出，數列收斂于 的本質是在的 鄰域內含有數列 的無窮多項，這僅僅是一個必要條件。換句話說，并不是在某個數的鄰域內含有無窮多項，該數列就收斂;例如：擺動數列 在 1 和 -1 的任意鄰域內都含無限項，但是該數列是發散的。同時，改變數列的前面的有限項并不影響其收斂性;例如：常數列 是收斂數列，把前面 6 項替換成任意其它實常數該數列還是收斂的。此外，我們還需注意到，是關于的函數;也就是說，給定我們才可以找到相應的，這里我們可以把當做任意小的正數。自然而然的產生一個問題：

換而言之，數列從第，項開始的項全部落在的鄰域。其實，我們也可以取。這也給出了關于寫的多種表達方式。

上面給出的是一種簡單的思路，實際上，就是求解不等式（2）。在本例題中，不等式（2）轉換成不等式（3），不等式（3）是一個關于的一元二次方程，從而利用韋達定理給出解的情況。如果這種等價過程最終轉換的不是一個一元二次方程，而是關于的更高次方程。關于更高次方程的解，比如 4 次，我們是無法解的，遇到這種情況我們該如何辦呢？從不等式（2）可以看出，如果我們可以找出一個中間量滿足

從上面的例題，我們歸納如下：利用定義證明數列極限的收斂性問題歸結于尋求的過程，本質上就是求解不等式（1）式;如果從不等式（1）不可以直接求出的范圍，那么我們需要尋求中間量滿足（3）式，并且我們解不等式是很簡單就可以解出的范圍的;這樣使得解不等式的過程其實是尋找一個可解不等式的過程，只需做適當的放縮就可以。

參考文獻：

[1]陳紀修，于崇華， 金路，數學分析（第二版上冊），高等教育出版社（2004）。

[2]肖建中，蔣勇，王智勇，數學分析（上冊），科學出版社（2015）。

[3]華東師范大學數學系，數學分析（第四版上冊），高等教育出版社（2010）。