對與“0”有關的主要問題探討

顏臘林

0是小學數學中極其特殊的數。說其特殊，主要是0在小學數學中的作用特殊，譬如：在直尺上，0表示起點;在溫度計上，0表示零上溫度與零下溫度的分界線;在數軸上，0表示正數與負數的分界點;在統計物體個數時，0表示一個物體也沒有;在計數時，0用來占位……0的這些不可替代的特殊功能，決定了對0的關注要遠超其它數字，與0有關的問題在教學中也頻頻出現，對0的詮釋也非同一般，與0有關問題的解決還需另辟蹊徑。特殊的數與特殊的功能，特別的問題與特別的解決辦法，難免會引發與0相關問題的困惑和爭議，小學數學教師面對這類問題也不禁感嘆道：“都是0惹的禍！”0到底惹了什么禍？迷茫中，筆者搜集整理了倍受教師關注的與0相關的幾個問題，并對此一一展開探尋，以期能為同行排疑解惑。

1.“0”為什么是自然數？

1993年之前，我國小學數學教科書指出：表示物體個數的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……都是自然數;1993年之后，我國小學數學教科書補充指出：一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數。為什么要把0納入自然數的范疇？主要原因有二。其一，便于國際交流。世界上多數國家，尤其是教育發達國家都把0定義為自然數，為了國際交流的方便，國家技術監督局于1993年12月27日發布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》第311頁，規定自然數集N={0，1，2，3，…};在《現代漢語詞典》2005年6月第5版中也把自然數定義成：零和大于零的整數，即0，1，2，3，4，5，……。其二，滿足數學需要。高中數學中指出，有限集合中元素的個數是可以用自然數來表示的，空集是有限集合，而空集的元素個數為0，這就要將0納入自然數范疇，以滿足空集教學的需要。

2.“0”為什么不是最小的一位數？

由于受到將0劃歸為自然數的影響，部分教師認為最小的一位數是0，而不應該是1。其實，自然數概念的完善，并不影響到最小一位數的改變。首先，不妨看看有關定義。《數學﹝算術理論部分﹞》（上海教育出版社，1979年6月第1版，第10頁）指出：用一個數字記出的數（不是0），叫做一位數。例如：1，3，9……在一個數中，數字的個數是幾（其中最左端的數字不是0），這個數就叫做幾位數。其次，不妨進行假設后推理。如果最小的一位數是0，最小的兩位數就是00，最小的三位數就是000，……，依此而論，豈不荒謬至極。

3.“0”是余數嗎？

分東西時會出現兩種情況：一是剛好分完，一個不剩;二是有剩余，當余數比除數小時，就不能繼續分了。這兩種分法，分別對應余數等于0和余數不等于0兩種數學描述。所以，在數論中“整除”與“余數是0”是等價的概念，即“余數是0”就是“一個不剩”的意思。例如，所有的正整數除以3，根據余數可以把所有的正整數分成3類，即余數是0、余數是1、余數是2。為什么會提出“0是余數嗎”的質疑呢？這可能與平時不嚴謹的語言描述有關。如把“沒有剩余的除法”說成“沒有余數的除法”，把“有剩余的除法”說成“有余數的除法”。這種把除法分成有或沒有余數的描述，導致了認知沖突：既然沒有余數，怎么又冒出余數是0呢？

4.“0×0”為什么等于“0”？

0×0=0無疑是一道特殊的乘法算式。按照乘法的意義，0×0表示0個0相加，而0個0相加是無法寫出的加法算式，又怎能知道其相加的和為0呢？其實，0×0=0是經過了“特殊——一般——特殊”的運算過程而得出的。因為0×3或3×0表示0+0+0，0+0+0的和為0，所以0×3=0，3×0=0;同理可知，0×5=0，5×0=0;0×8=0，8×0=0……從這些特例中經過合情推理得出了一般性結論：0和任何數相乘都得0，再將這個一般性結論運用到0×0這一更為特殊的計算中，即可知道0×0=0。

5.“08”是分數嗎？

各個版本的小學數學教科書都將分數定義為：一個物體、一個計量單位或是一些物體都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。其中，分母表示把單位“1”平均分成的份數，分子表示從中取出的份數。從這樣的描述中不難發現，八分之零只是一種形式上的分數，俗稱“零分數”，即把自然數0寫成了分數的形式;八分之零并不是一個實質上的分數，即其雖然把單位“1”平均分成了8份，但其未能從中取出一份或幾份，取出的只是0份，也就是沒有取出，顯然不符合分數的定義。對此，有關數學專著早有明確，人民教育出版社出版的《基礎數學》第64頁定義分數時指出：“形如m/n（m和n都是正整數，且n>1）的分數叫做分數。”

6.“x=0”是方程嗎？

含有未知數的等式就是方程。從這一定義中可知，方程只一是含有未知數，二要是等式。從定義出發，毫無理由否認“x=0”不是方程。因此，可以說“x=0”是方程，是結構最為簡單的方程，是不需求解即可知其解的方程，是方程與方程的解完全一致的方程，但其更是一個毫無價值的方程。所謂方程的本質屬性是尋找和建構已知量與未知量之間的相等關系，從而通過已知求解出未知。在“x=0”中，未知早已是已知，又何苦要將已知轉化為未知呢？豈不是徒勞和無聊的折騰。

7.在研究因數和倍數的時候，為什么一般不包括“0”？

在“因數與倍數”這個單元中，人教版義務教育教科書五年級數學下冊第5頁用紅色字體強調指出：“為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是自然數（一般不包括0）。”北師大版義務教育教科書五年級數學上冊第31頁指出：“我們只在自然數（零除外）范圍內研究因數和倍數。”蘇教版義務教育教科書五年級數學下冊第30頁指出：“研究因數和倍數時，所說的數一般指不是0的自然數。”為什么這些主流教材在研究因數和倍數時，都將0排斥在外？是不能研究還是沒有研究價值？從0×1=0、0×2=0、0×3=0……中，發現0是任何非零自然數的倍數，任何非零自然數都是0的因數。依此看來，的確是在研究因數和倍數時，如果把零納入進來，還是可以研究，只是失去了應有的研究價值。

8.“0”為什么不能做除數、分母或比的后項？

透過除法、分數和比的關系可知：甲數÷乙數==甲數∶乙數。如能明白除數為何不能為0的原因，即可知道分母或比的后項為何不能為0的道理。不妨對a÷0=b分兩種情況加以探究。當a=0時，a=0×b=0，此時商b可為任何不確定數;當a≠0時，a=0×b≠0，此時商b不存在;不確定的商或不存在的商，都將會使除法計算變得毫無意義，因此，數學中規定除數不能為0。

9.“1∶0”在數學中不存在，為什么在生活中又常用？

在上面第8個問題的探討中，知道比的后項不能為0，故數學中不存在類似“1∶0”這樣的比。但在日常生活中，常常可見足球比賽的結果是“2∶0”之類比，這是為什么？不妨還是回到比的定義上進行探究。兩個數的比表示兩個數相除，兩個數相除又表示兩個數的倍比關系，即“甲數÷乙數”，顯然乙數不能為0，所以比的后項不能為0。然而，生活中類似“2∶0”的比，表示的是兩個數量間的差比關系，即“大數-小數”，顯然小數可以為0。可見，數學中的比和生活中的比，雖然都稱之為比，但其意義有著天壤之別，不可等同視之。于此，筆者認為數學來源于生活，但數學并非等同于生活。

10.7.5×0.2的計算結果是一位小數還是兩位小數？

在教研活動中，老師們經常問到判斷小數乘法的積的小數位數的問題。比如，7.5×0.2的計算結果到底是一位小數還是兩位小數？這類問題實際上就是判斷小數乘法中積的小數位數到底應該以計算法則為準，還是要看具體的計算結果的問題。筆者認為小數乘法中判斷積的小數位數，應以計算法則為主，至于積的末尾有0的情況是進一步需要解決的問題。因此，在出練習題時，最好不要出末尾有0來判斷積的小數位數的題目，因為這樣的考察沒有多大的意義。學生在具體計算時，只要按計算法則先確定積的小數位數，點上小數點，再根據計算的要求去掉小數部分末尾的0即可。