淺談三次函數的性質及簡單應用

古芳

摘 要：三次函數與二次函數有著非常緊密的聯系，在高考中同樣占據著非常重要的位置，在近幾年的高考中三次函數問題屢次出現，必須引起我們的重視.熟悉三次函數的模型，掌握其圖象及性質，對于解決三次函數的極值最值問題、對稱性問題和切線問題等都有著非常重要的作用

關鍵詞：三次函數;圖象與性質;單調性;對稱性

三次函數已經成為中學階段一個重要的函數，是教學過程中的一個重點和難點，也是高考考查的一個熱點，應該引起我們的重視。現將自己在三次函數教學過程中的一些做法作簡單的歸納，與大家共勉。

一、定義

形如的函數，稱為三次函數（從解析式的結構上命名）。三次函數是一個特殊函數，平時我們接觸它是在學習導數之后，由于其導函數是二次函數，而二次函數是高中數學中的重要內容，所以三次函數是高考的一個熱點和亮點。

二、三次函數單調性、圖象變化規律、極值最值以及對稱性。

1.單調性、圖象變化規律

函數的導函數為。我們不妨把方程稱為原函數的導方程，其判別式。若，設其兩根為，，若a>0，當時，y=f（x）是增函數;當時，其單調遞增區間是，單調遞增區間是;若a<0，當時，y=f（x）是減函數;當時，其單調遞減區間是，單調遞增區間是。

根據a和△的不同情況，其圖象特征分別為（如圖1）：

2.最值與極值

函數若且，則：;。

函數，當時，不存在極大值和極小值;當時，有極大值、極小值。

3.對稱性

函數是中心對稱圖形，其對稱中心是。

證明：設的圖象關于點對稱，任取圖象上點，則A關于的對稱點也在y=f（x）圖象上，

下面選一些平時出現的試題，讓我們來體會一下如何應用這些性質快速、準確地解答問題。

三、簡單應用

1.三次函數的切線問題

例1.已知函數f（x）=x3-3x.

（1）求曲線y=f（x）在點M（2，2）處的切線方程;

（2）若過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍.

解（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，所以y=f（x）在點M（2，2）處的切線方程是y=9x-16;

（2）設切點為（t，t3-3t），切線方程為y-t3+3t=（3t2-3）（x-t），將A（2，m）代入切線方程得2t3-6t2+6+m=0，令g（t）=2t3-6t2+6+m，g′（t）=6t2-12t=0t1=0，t2=2，題設中有三條切線等價于g（t）=0有三個不同實根，故-6<m<2.

四、相關訓練題：

變式1 若x3-x2+ax-a=0只有一個實數根，求實數a的取值范圍

（答案[0，+∞））

縱觀以上事例，只要我們掌握了函數的性質和圖象，在平時解題中都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。盡管如此，我們還要進一步加強對三次函數的單調性、極值、對稱性、圖象變化規律、切線方程等性質的研究，這也有助于提高對知識系統性的理解水平，拓寬解題思路。

參考文獻

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[3]劉國杰;三次函數圖象對稱性的探索[J];數學通訊;2016年20期