正項級數(shù)比較判別法的商榷

胡旭東

摘 要：文章主要介紹了正項級數(shù)收斂判別法中最重要的比較判別法，通過對傳統(tǒng)方式進行微調(diào)提高比較判別法的實效性。

關(guān)鍵詞：正項級數(shù)；收斂；比較判別法。

高等數(shù)學(xué)是重要的公共基礎(chǔ)課程。級數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，正項級數(shù)又是級數(shù)理論中最重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題。正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，其中的基礎(chǔ)性方法就是比較判別法。但是傳統(tǒng)經(jīng)典的描述方式存在一定缺陷，下面我們對經(jīng)典描述做適度微調(diào)，可以發(fā)現(xiàn)如此解決問題就能事半功倍。

傳統(tǒng)經(jīng)典的描述方式

上述判別法是許多高等數(shù)學(xué)教材中普遍采用的描述模式，定理1是定理2的理論基礎(chǔ)，但是定理1的描述本身有明顯缺陷，定理中條件un≤vn（n=1，2，···）是不明智的，它帶有歧義，是不是需要從n=1開始限制un≤vn？如果這樣則定理1的作用大打折扣。

2.對經(jīng)典傳統(tǒng)的微調(diào)

下面結(jié)合級數(shù)收斂的性質(zhì)對定理1中的條件做合理的微調(diào)，可以看到微調(diào)后的定理1更加適合于實際運用。

可以看到，我們僅僅是對定理1中的條件做了微調(diào)，不過這種微調(diào)卻給定理2的證明撥開迷霧，讓定理1的應(yīng)用柳暗花明。下面舉例說明：

例1定理2中結(jié)論的證明。

上述問題用到了由比較判別法衍生出來的積分判別法，其中在條件x>e下的推理形式和本文所述的妙味是相似的。由此可以加深體會微調(diào)的作用所在。

綜上所訴可以看到，定理l'相對于定理1的優(yōu)越性是不言而喻的。如果在教學(xué)中能夠做出本文所指出的微調(diào)，這件事雖小，但的確超越了傳統(tǒng)之經(jīng)典。

參考文獻(xiàn)：

《高等數(shù)學(xué)》 科學(xué)出版社 2011年2月第一版