微分方程的圖像解

曹萬蒼 孫福玉 何佳

摘要：微分方程是高等數學的重要組成部分，在物理、電子類專業的后續課程中有廣泛的應用.MATLAB提供了微分方程的眾多解法，如時域解法、頻域解法、公式解法、數值解法和圖像解法等.文章使用Simulink的積分模塊、傳遞函數模塊及反拉普拉斯變換方法進行對比求解和分析，總結了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本步驟.

關鍵詞：積分模塊;傳遞函數模塊;反拉普拉斯變換

中圖分類號：O4-39? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）06-0001-02

1 引言

微分方程是高等數學的重要組成部分，在物理、電子類專業的后續課程中有廣泛的應用.在模擬電路、數字電路、電路分析、信號與系統、通信原理等課程的教學中，微分方程的應用是必不可少的內容.MATLAB具有強大的功能，MATLAB提供了微分方程的眾多解法，有時域解法，頻域解法，公式解法，數值解法[1]，圖像解法等.本文討論了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本情況.

2 使用Simulink工具箱求解微分方程

Simulink作為MATLAB的重要組成部分[2]，具有相對獨立的功能和使用方法.它是對動態系統進行建模、仿真和分析的一個工具軟件.它支持線性系統、非線性系統、連續系統、離散系統.

Simulink的使用和我們在實驗室做實驗的過程是相同的，我們在實驗室進行試驗基本要經過下面的7個步驟：清理好實驗臺，打開試驗準備室，把所需儀器搬到實驗臺，連接好儀器，調節儀器的參數，合閘試驗，觀察和記錄數據.而使用Simulink的過程和上述7個步驟類似：建立建模窗口Model，打開Simulink的模塊庫，拖模塊到Model窗口，在各個模塊上連線，模塊參數設置，運行Simulation的Start命令開始仿真，觀察和記錄仿真結果.

2.1 積分模塊

使用Simulink的積分模塊求解二階微分方程：x"+0.1x′+0.7x=0.5u（t），u（t）是單位階躍函數.

用積分器直接創建求解該微分方程的模型[3]，步驟如下：改寫微分方程為：x"=0.5u（t）-0.1x′-0.7x;利用Simulink庫中的標準模塊創建模型利用積分模塊創建微分方程求解模型的核心思想是：x"經積分后得到x′再經積分得到x，x′和x經代數運算產生x".Simulink庫中利用積分模塊創建微分方程求解模型如圖1所示.

對圖1中微分方程求解模型的模塊參數進行設置，運行Simulation的Start命令開始仿真，在scope中觀察仿真結果如圖2所示.

2.2 傳遞函數模塊

為了比較起見，我們使用Simulink傳遞函數模塊求解上述同樣的二階微分方程：x"+0.1x′+0.7x=0.5u（t），設初始狀態為0，u（t）是單位階躍函數.

3 用反拉普拉斯變換求解微分方程

反拉普拉斯變換求解微分方程結果如圖4所示.可以看到figure中的圖形和scope中顯示的仿真結果相同.

4 結論

微分方程是高等數學的重要組成部分，在物理、電子類專業的后續課程中有廣泛的應用.MATLAB提供了微分方程的眾多解法，有時域解法，頻域解法，公式解法，數值解法，圖像解法等.文章使用Simulink的積分模塊、傳遞函數模塊及反拉普拉斯變換方法進行對比求解和分析，總結了用MATLAB的圖像法解微分方程的基本步驟.

參考文獻：

[1] 張麗娟，張翔，等.一階常微分方程初值問題的數值算法[J].通化師范學院學報，2017，38（4）：22-24.

[2] 劉思平.MatlabPDE工具箱在電動力學教學中的輔助應用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版） ，2017，17（1）：110-112.

[3] 吳佳惠.一種數值積分算法的改進研究[J].軟件，2017，38（2）：28-32.

[4] 孫福玉，韓錚，曹萬蒼，等.大學物理創新性實驗數字化設計研究[J].實驗室科學，2015，18（6）：1-3.