淺談線性微分方程的若干解法

汪慶康

摘要：文章介紹了線性微分方程的一些基本解法，針對不同類型的微分方程的解法，體現了常見微分方程的一般求解規律，從而尋找最優求解法.

關鍵詞：線性微分方程;常數變易;積分因子;比較系數;冪級數

中圖分類號：O1-O29? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）06-0003-03

1 引言

常微分方程不僅在數學科學領域起著重要作用，而且在其他領域也有著重要價值，許多情況下將實際問題轉化成微分方程進行求解，為我們解決問題帶來很大的方便，所以研究常微分方程對社會發展有重要意義和價值.

文章針對性的研究了不同類型線性微分方程的解題方法.首先，從解一階線性微分方程開始入手，敘述了一階線性微分方程的簡單解法，變量分離法、常數變易法和積分因子法;其次，分類探討了求解高階線性微分方程的方法，包括將解一階方程的常數變易法拓展到解高階方程，另外，給出了幾種求解高階線性微分方程特有的方法.

2 一階線性微分方程的解法

一階線性微分方程是微分方程的基礎，由以往的認知水平可以知道學習一個新的方程，必然要學習它的解法，只有掌握了基本知識，才可能學習好微分方程的解法，并且由一階微分方程的解法向高階微分方程解法的過度符合學生的思維邏輯，本節重點列舉了一階線性微分方程的幾種簡單解法，變量分離法，常數變易法和積分因子法.

2.1 變量分離法

由（1.2）分離變量得=P（x）dx，兩邊同時積分有ln|y|= p（x）dx+c1，進一步得y=ce;顯然y=0是原方程的一個特解.故得原方程的通解為y=ce（c為任意常數）.

2.2 常數變易法

2.3 積分因子法

多數情形下積分因子求解過程是比較復雜的，由于本段討論的是線性微分方程的積分因子，所以令ψ（x）=，由文獻[2]可知積分因子u（x，y）只與x有關，這種情形只是求解積分因子的一個特例，從而由文獻[2]可以求出積分因子u=e.

利用積分因子法求解方程時，不需要知道（2.1）及其對應齊次方程的通解和特解之間的關系和性質，而使用常數變易法求解方程，可能會有不能理解其中替換思想的，于是按上述步驟循序漸進地逐步求解，即使我們進一步理解線性微分方程的求解步驟，也使得我們在求解線性微分方程過程中有更多的選擇性，從而達到一題多解的效果，同時也使得我們更容易理解常數變易法，但是此方法涉及恰當方程的概念，所以總體內容相對較難，另外，在求解積分因子的過程中技巧性較高，難度較大[3].

4 結論

在已有知識邏輯的基礎上，討論了線性微分方程的解法，主要是對已學知識的歸納和總結，有利于幫助我們理解微分方程相關內容，構建完整的微分方程知識體系，提高我們的數學素養.

解線性微分方程的過程是復雜多變的，需要選取適合自己認知水平的解題方法，掌握線性微分方程解的結構，特別需要考慮線性微分方程的特解問題.總之，通過對線性微分方程解法的探析，使我對微分方程有了更深層次的認識.

參考文獻：

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