圓錐曲線中的一類定值問題再探究

覃業集

摘 要：本文從一道試題出發，引出了過圓錐曲線的一條性質，過曲線上一點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交曲線于B，C兩點，則直線BC斜率為定值。并用極限思想說明如何快速確定定值，分別用點差法和韋達定理給出了證明。

關鍵詞：圓錐曲線;定值;點差法

解析幾何中的定值問題一直是命題的熱點，本期高二入學考試出現了如下這道題：

已知橢圓的離心率為，F1，F2為橢圓的左、右焦點，過右焦點F2的直線與橢圓交于M、N兩點，且的周長為.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若點A是第一象限內橢圓上一點，且在x軸上的正投影為右焦點F2，過點A作直線AG，AH分別交橢圓于G，H兩點，當直線AG，AH的傾斜角互補時，試探求直線GH的斜率是否為定值，否則，請說明理由.

解：（1）橢圓的方程為.

（2）證明：依題意知，點，設

直線AG的方程為：，

聯立

，得，

則，

即，

又，

即

而直線AG，AH的傾斜角互補，

即

因此，直線GH的斜率為為定值。

探究一：此題第二問的結論能否推廣到橢圓上的任意點？

我們可以用極限的思想來思考，設點A關于x軸的對稱點為A1，當B，C無限向A1靠攏時，割線BC無限接近曲線在點A1處的切線，因此BC的斜率等于A1處的切線斜率。

因為橢圓在A1處的切線方程為其斜率為，所以

我們可以得到如下結論

定理1：過橢圓（a>0，b>0）上任一點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B，C兩點，則直線BC有定向且（常數）.

證明：設AB：即

同理

此種證明方法與前題解答類似，求出B，C兩點的坐標再求斜率。過曲線上一點作直線與曲線相交于另一點，經常可以設直線方程，與曲線方程聯立由韋達定理求另一點的坐標。

探究二：上述證法有點復雜，有沒有其它證法？

考慮到曲線上兩點的斜率經常用點差法來處理，得到了如下證法

證法（二）設，由點差法得：

，

因為，所以

所以

探究三：其它圓錐曲線是否有類似的結論？

同樣的方法我們可以得到

定理2：過雙曲線（a>0，b>0）上任一點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B，C兩點，則直線BC有定向且（常數）.

定理3：過拋物線（p>0）上一任點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交拋物線于B，C兩點，則直線BC有定向且（常數）.

定理4：過圓上一任點A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交拋物線于B，C兩點，則直線BC有定向且（常數）

探究四：定理成立的條件是否有其它等價的說法？

定理中直線AB，AC的傾斜角互補有以下等價的說法

（1）直線AB，AC的斜率互為相反數;

（2）直線AB，AC關于x=x0對稱;

（3）直線AB，AC關于y=y0對稱;

（4）E，F是x軸（或y軸）上的兩點，AE=AF，直線AE，AF曲線于另外兩點B，C

培養和引領學生教學反思就是教會學生思考，對學生思維能力的培養，既是數學學科的核心素養的要求，也是數學學科的根本任務之一，需要我們舍得花時間，善于動腦筋。我們在學習的過程中就是要達到做一題會一類的效果，只要經常反思總結，掌握規律就能跳出題海，取得理想的成績。