高中數(shù)列通項(xiàng)公式常用求法的模型構(gòu)建

張維

摘 要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，數(shù)列問題對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理等方面的能力均有很好的作用。通過建模，掌握好數(shù)列通項(xiàng)的基本求法，就打開了解決數(shù)列問題的大門。而看似繁雜的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，其實(shí)蘊(yùn)含著很多規(guī)律性，本文基于數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用求法，總結(jié)出其模型構(gòu)建方式，以求裨益于學(xué)生解決數(shù)列問題能力的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;通項(xiàng)公式;常用求法;模型構(gòu)建

數(shù)列問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，而在很多情形下，解決各種數(shù)列問題之關(guān)鍵就在于通項(xiàng)公式的求解，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的問題中，通項(xiàng)公式的求解往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文基于數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用求法，總結(jié)出其模型構(gòu)建方式，以求裨益于學(xué)生解決數(shù)列問題能力的提升。

一、公式法模型構(gòu)建

例1.[2018全國卷3]等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3.

⑴求{an}的通項(xiàng)公式;

⑵記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63，求m

解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∴，∴q=±2.

∴或.

（2）由（1）知，或，

∴或（舍），

∴m=6.

模型構(gòu)建：利用公式法求數(shù)列通項(xiàng)時要注意必須已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列，其建模為：在等差數(shù)列{an}中，或;在等比數(shù)列{an}中，或，不能記錯公式，先求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。

二、定義法模型構(gòu)建

例2.（1）數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

（2）數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：（1）由an+1=an+2得an+1-an=2

∴數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為1，2為公差的等差數(shù)列

∴an=1+（n—1）2=2n—1

（2）由an+1=2an得

∴數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列

∴an=1×2n-1=2n-1

模型構(gòu)建：這種題型是直接利用等差或等比數(shù)列的定義來判斷其數(shù)列是等差或等比數(shù)列，再求出其通項(xiàng)公式。其建模方法為：數(shù)列{an}中，若an-an-1=d，則{an}為等差數(shù)列;若=q（q≠0），則{an}為等比數(shù)列

三、累加法模型構(gòu)建

例3數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+3n-2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：由an+1=an+3n-2得an+1-an=3n-2

∴a2-a1=3×1-2 a3-a2=3×2-2 a4-a3=3×3-2

……an-an-1=3×（n-1）-2（n≥2）

以上各式相加得：

=

∴an=（n≥2）當(dāng)n=1時，a1=1也滿足上式

∴an=

模型構(gòu)建：形如an+1-an=f（n）型遞推關(guān)系式求通項(xiàng)an.，用累加法求解，模型為：

①若f（n）是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;

②若f（n）是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;

③若f（n）是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和

需要注意的是：各式相加的項(xiàng)數(shù)是n-1項(xiàng)，最后需要驗(yàn)證n=1是否滿足an

四、累乘法模型構(gòu)建

例4數(shù)列{an}中，a1=1，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：由得

∴……（n≥2）

以上各式相乘得：（n≥2）

當(dāng)n=1時，a1=1也滿足上式∴

模型構(gòu)建：若數(shù)列{an}滿足，其中{f（n）}前n項(xiàng)積可求，

則可用累乘法求an，同樣各式相乘的項(xiàng)數(shù)是n—1項(xiàng)，最后需要驗(yàn)證n=1是否滿足an。

五、前n項(xiàng)和Sn模型構(gòu)建

例5數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，且Sn=n2+2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：由Sn=n2+2n得（n≥2）

∴an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1（n≥2）

當(dāng)n=1時，a1=S1=3也滿足上式

∴an=2n+1

模型構(gòu)建：利用，含Sn的遞推式有兩種轉(zhuǎn)化思路：第一

種是an=Sn-Sn-1，第二種是Sn=an+Sn-1

六、構(gòu)造法模型構(gòu)建

（一）構(gòu)造等比數(shù)列：

例6數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2（an+1）

∴=2又a1+1=2，

∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

∴an+1=2·2n-1=2n∴an=2n-1

模型構(gòu)建（1）：形如an+1=pan+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)an+1+k=p（an+k）與原式比較系數(shù)可得pk-k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{an+k}

例7.數(shù)列{an}中，a1=1，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：∵

∴

∴

∴數(shù)列是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列

∴=

∴an=-

模型構(gòu)建（2）：形如an+1=pan+qn+1（p≠1，pq≠0）型的遞推式也可構(gòu)造成等比數(shù)列，形式是，如何求A還是采用待定系數(shù)法

例8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=，若an（an-1+2an+1）=3an-1·an+1（n≥2，n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=（ ）

A. B. C. D.

解：由an（an-1+2an+1）=3an-1·an+1，得

anan-1-an-1an+1=2an-1·an+1-2anan+1，

，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

所以

所以（n≥2）

以上各式相加得：

所以所以，（（n≥2），

當(dāng)n=1時，a1=1也滿足上式所以故選B.

模型構(gòu)建（3）：構(gòu)造等比數(shù)列題型中還有一種含有相鄰3項(xiàng)的遞推式，往往可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，然后再用構(gòu)造法或累加法求通項(xiàng)。

（二）構(gòu)造等差數(shù)列：

例9.數(shù)列{an}中，a1=1，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：∵

∴

∴

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列

=+n-1=n-∴an=（n-）2n

模型構(gòu)建：形如an+1=qan+tqn+1型的遞推式均可化為形式，則數(shù)列為等差數(shù)列.

數(shù)列是高中必修內(nèi)容，數(shù)列問題對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯推理能力、分析

問題、探索問題等能力上均有較好的體現(xiàn)，通過建模，掌握好數(shù)列通項(xiàng)的基本求法，就打開了數(shù)列問題的大門，而看似繁雜的求數(shù)列通項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含著很多規(guī)律性和方法性，規(guī)律和方法產(chǎn)生于具體的做題過程中，而通過建模總結(jié)規(guī)律和方法比做題更重要。

本文為2016年海南省教育科學(xué)規(guī)劃課題“模型構(gòu)建法在高考解答題教學(xué)中的運(yùn)用研究”階段性成果（項(xiàng)目編號QJY13516099）。

參考文獻(xiàn)

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