一道課本習題引發的探究教學及反思

上官光毅

浙教版《義務教育課程標準實驗教科書——數學》九上第118頁習題：

如圖1，有一塊三角形余料，它的邊mm，高mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在上.問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？

這是一道傳統的課本習題，各種版本的教材都有與它背景

相同的習題或例題，甚至許多中考題就是由它改編拓展而來。

它之所以典型，是因為該題的背景貼近學生生活實際，其求解過程又能考查學生綜合運用數學知識的能力，同時該題的探索空間很大。基于此，我在教學中以此題為切入口，設計了一堂富有變式、梯度遞進的探究課。下面就本節課的探究過程作一簡述和淺析。

問題：求加工成的正方形零件的邊長？

生1：我是利用相似三角形的性質得出比例式求解的.

如圖1，設正方形的邊長為（mm），由∥，得∽，

∴，即，∴.

在大多數學生看來，這是一個“很不起眼”的問題.他們沒花多少時間，都求出了正方形的邊長.于是我順水推舟，對題目的條件稍作改變，給出如下的變式問題。

探究一：將原題中的“正方形”改成“矩形”，使矩形的長、寬之比為，其余條件不變，求矩形的長與寬.

生2：要分兩種情況進行討論.

⑴圖2是矩形的短邊落在上的情形，

設矩形的寬為cm，則長為cm.

∥? ∽? ?∴，即，

解得 ，此時這個矩形的長為60cm，寬為30cm.

⑵圖3是矩形的長邊落在上的情形，

設矩形的寬為cm，則長為cm. 則，

解得 ，此時這個矩形的長為cm，寬為cm.

思考：這樣的改編設計，使問題有了“動態”的色彩，分類討論的思想自然蘊于其中.這樣的兩種分類情形也比較顯然，對大多數學生而言是可接受的，所以課堂教學中學生能廣泛參與.另外，“動態”矩形的形狀隨點的運動而變化，這就可以引導學生探索變化過程中矩形面積的最大值，將二次函數的知識融入其中，考查學生建立模型，綜合運用知識的能力.

探究二：分別是上的動點，請探索矩形的面積是否存在最大值？若存在，求出矩形的最大面積;若不存在，請說明理由.

生3：需要建立二次函數模型.

師：如何建立？以什么為自變量？

生3：設長為cm，利用相似可以將矩形的另一邊（即的長）表示成關于的代數式.這樣矩形的面積就是關于的二次函數關系.

師：思路很清晰！

我讓學生根據生3的思路完成解答，并且自己作了板書示范。

解：設矩形的邊長為cm，邊的長為cm，矩形零件的面積為.

由∽得，即，

解得.

∴

∴當時，（cm2）.

寫完該題，只見學生4揮手向我示意，興奮地說道：“當時，恰為的中位線.”“這難道是巧合嗎？”，他同時又有些不解.我覺得這是個良好的教學契機，一方面“最大值出現在恰為中位線時”這一細節很容易被學生忽略，另一方面學生的疑問“是否巧合”可以把他們引向更本質的探究.

探究三：將原題中的邊長改為cm，探究矩形何時能達到最大面積？

我放手讓學生們討論、思考.教室里頓時議論紛紛，氣氛熱烈！

生4：我取代入，計算得到，當時，面積取到最大值.這個時候也是的中位線.

他說完很興奮，毫不掩飾自己的得意之情.此時生5有點不屑地插了一句：“不能用特殊情形來說明一般結論吧！”.看他胸有成竹的樣子，我立即請他來講述推理過程.

生5：將比例式中的120換成，即有，則

∴

可知當時，也即當為的中位線時，達到最大值.

幾乎是一氣呵成，我帶頭把掌聲送給了他，并及時引導學生進行歸納小結.在分析、解答、小結之后，探究三似乎又給學生新的啟示.

生6提出質疑：老師，當矩形的一邊落在或上時，矩形的最大面積是否存在？

面對這突如其來的問題，我有點束手無策.我回頭看了一下黑板，巧然發現在經過配方的二次函數解析式中，不管邊長怎樣變化，矩形的最大面積都等于的一半.于是，我堅信當矩形的一邊落在或上時，它的最大面積不僅存在，而且就等于的一半.學生的疑問打亂了預先的教學步驟，但這個意外的問題也把探究引向更深一層，將課堂推向高潮.