翻轉課堂模式下極坐標系教學的幾點思考

摘 要：極坐標教學，學生往往表現出不擅于，或者不習慣于運用極坐標工具解決問題。如何在極坐標教學中激發學生的學習興趣，更加順利的接受極坐標知識，深刻理解極坐標系解決問題的優勢與不足，本文談談一些不成熟的想法。

關鍵詞：極坐標;數學文化背景;教學感想

極坐標系新授課中引入翻轉課堂模式，這個念頭由來已久，主要是因為本節課內容源于生活中對于一些方位的表述，學生能夠自然而然的接受，但是在深入學習過程中，學生還是會遇到一些挑戰，如何將這種自然通俗的知識融入學生現有的知識體系，并且同化與吸收，是我一直在思索的一個問題。

在多次檢測、考試，甚至平常的作業中都能感受到，很多學生對于極坐標系的學習，僅僅停留在轉化為直角坐標方程，而在運用極坐標系解決問題，分析問題的能力方面，幾乎是空白。所以在教學過程中，怎樣避免極坐標系的教學流于僅僅會轉化方程這個層面？如何讓學生深入理解極坐標系，習慣并熟練運用極坐標系？是我一直在思考的一個問題。在這里，我將自己一些不成熟的點滴與大家分享。

一、弄清極坐標的文化背景及產生過程，利于學生接受新知識

知道一個知識的形成過程，文化背景，發展演變，是對這個知識深入理解，產生濃厚興趣的重要的一方面，有很多同學甚至都不知道極坐標系是如何產生的？至于對其產生濃厚興趣就更遑論了。

在翻轉課堂模式下，供學生學習的第一項內容，就是數學文化，簡單而扼要的向學生展示數學知識產生的背景和過程。

第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。大約于1671年，他寫成的《流數法與無窮級數》，書中創見之一，是引進新的坐標系。17甚至18世紀的人，一般只用一根坐標軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓所引進的坐標之一，是用一個固定點和通過此點的一條直線作標準，例如我們使用的極坐標系。牛頓還引進了雙極坐標，其中每點的位置決定于它到兩個固定點的距離。由于牛頓的這個工作直到1736年才為人們所發現，

瑞士數學家J.貝努利于1691年在《教師學報》上發表了一篇基本上是關于極坐標的文章，所以通常認為J.貝努利是極坐標的發現者。J.貝努利的學生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地應用極坐標去研究曲線。他還給出了從直角坐標到極坐標的變換公式。確切地講，J.赫爾曼把cosθ，sinθ當作變量來使用，而且用n和m來表示cosθ和sinθ。

歐拉擴充了極坐標的使用范圍，而且明確地使用三角函數的記號;歐拉那個時候的極坐標系實際上就是現代的極坐標系。

這段內容適宜用動畫或者歷史圖片的視頻形式制作，展示給學生觀看。不適宜展開大篇幅的展示，盡量有趣并且言簡意賅。激發學生了解并進一步學習的興趣。

二、想想哪些問題利于在極坐標系下解決，提升應用意識

很多問題在直角坐標系下已經解決過，比如兩點間的距離、點到直線的距離、兩點的中點坐標、弦長問題等。在極坐標系教學中，一方面要講清楚極坐標的知識體系，另一方面要引導學生應用極坐標工具去解決問題，比較并且感受極坐標在解決那些問題中具備優勢。預先制作好翻轉課堂所用的視頻材料，包括推導過程及例題詳解，供學生在課前學習。

我們看一下應用方面的例子

三、極坐標中聯立方程組，漏解極點的探討

在極坐標方程組聯立時，一個麻煩之處在于會漏掉極點解。這種問題往往出現在聯立后消去ρ求解θ的過程中，難于發現，關鍵在于要充分理解極點處的極徑為0，但是極角不一定是0.可以使任意值。譬如例2中，這個極坐標方程已經包含了該曲線經過極點這一信息，故在求解方程時應優先考慮極點（0，0）是否適合方程組，這樣可以避免漏解。當然最好的辦法還是數形結合，根據圖來看有無漏解。在翻轉課堂錄制視頻中，這一段要做特別說明，供學生思考?？蓪D在后期給出，在學生給出答案后指出其錯誤，引起學生之警示。

四、激發學生興趣，探索新的工具

以兩點間距離公式為引，激發學生興趣，積極探索極坐標下如何解決常見的幾何問題，函數問題。制作課后練習題組，讓學生在充分理解極坐標的前提下，發揮主動性，發掘常見問題、基礎問題的極坐標解法，使他們體會成功的愉悅，激發學習數學的興趣。當然在期間，教師也要當好引路人，對于他們遇見的挫折和困難予以一定程度的協助。

筆者愚見，望讀者見我之磚文，予我以良玉。其間不確之處，懇請指正。

作者簡介：楊建峰，男，1982.01-，漢族，本科;一級教師，數學，人教A版，天祝藏族自治縣第一中學，高中數學教學，翻轉課堂模式下極坐標系教學的幾點思考