基于譜矩的單自由度復阻尼結構的等效阻尼分析

李暾 謝海文 李創第 葛新廣

摘? ? 要：復阻尼模型與實驗結果吻合較好，但結構動力分析較為復雜.本文針對單自由度復阻尼耗能結構基于譜矩相等準則，即令復阻尼原始系統和等效系統的的零階和二階譜矩相等，得到單自由度復阻尼耗能結構的等效頻率和等效阻尼.將等效系統的計算結果與原始系統計算得到的精確解以及由經典的模態應變能法計算得到的結果進行比較，等效系統具有很高的精度.

關鍵詞：復阻尼結構;譜矩;等效頻率;等效阻尼;單自由度

中圖分類號：TU311.3? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.04.002

0? ? 引言

復阻尼模型和粘滯阻尼模型是常見的阻尼模型[1-3]，在實際工程中的應用也較為廣泛.對于這些阻尼耗能結構，目前在世界范圍內進行抗震設防設計基本是基于反應譜的方法進行設計[4-5].地震動特性和阻尼器結構系統的動力特性兩者間的關系是抗震設計中的關鍵問題，這兩者之間關系在反應譜中都考慮進去了，因此要用合理的方法確定結構的等效阻尼.

相比于粘滯阻尼，復阻尼模型可以比較好的描述阻尼特性[6-8]，與實驗結果相對比，復阻尼模型也比較相符[9].振幅改變、應力等因素對實際應用的材料都有影響，并且材料的能量耗散也與之相關，相比于其他阻尼模型，復阻尼模型考慮到了這些的問題.因此，研究復阻尼耗能結構的地震分析以及其等效阻尼極其具有工程意義.

在對單自由度復阻尼耗能結構動力特性分析方面，已經有對其在頻域和時域的研究成果[10-13]，通過對比單自由度復阻尼結構時域精確解法與頻域解法之間的情況，分析了在求解過程中一些不恰當的做法，以及在進行時域計算時實部與虛部之間的影響.但大都是采用如精細積分法、Newmark-[β]、平均加速度等方法，尚未解決有關等效阻尼的算法，因反應譜法中需要涉及，本文提供了一種單自由度復阻尼結構的等效阻尼算法.

阻尼耗能結構的解析法分為擴階法和非擴階法.對于Maxwell、廣義Maxwell模型[14-15]，以及分數導數模型[16-17]，目前一般采用擴階法，此法可以比較快速獲得擴階的近似模型從而求得結構系統的解析解.但是在應用擴階法時，常常因其變量個數較多，導致在計算過程中效率降低.經典的模態應變能法[18-19]和強行振型解耦法[20]屬于非擴階法，這兩種方法在計算過程中采用了比較多的假設，其適用性和精確性有待提高.

在工程中大量運用的阻尼系統，其動力特性都是由其頻率響應函數決定[21].在此基礎上，本文重新構造了復阻尼耗能結構的基本分析方程，根據其頻率響應函數，基于譜矩相等的等效準則，即原始系統和等效系統的頻響函數的各階譜矩均相等，則兩個系統完全等效;如果兩個系統有限階譜矩也相等，則他們近似等效.因此令復阻尼原始系統和等效系統的零階和二階譜矩相等，求得單自由度復阻尼耗能結構的近似解析式以及等效阻尼和等效頻率.譜矩相等的準則在求解Maxwell阻尼器結構也有應用[22]，用譜矩法求解的優勢在于可以直接通過積分的方法求得其各階譜矩，為在分析其他各種阻尼耗能結構提供一種新思路.

1? ? 復阻尼耗能結構的譜矩分析

復阻尼單自由度系統在地震激勵下，其運動方程為[10]：

[mx+k（1+iη）x=-mxg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，m——質量;k——剛度;i——虛數單位，i=[-1];[η]——耗損因子，且0<[η]<1;[x]——質點相對于地面位移;[xg]——地震動地面加速度.

方程（1）可以改寫為：

[x+ω20（1+iη）x=-xg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

式中，

[ω20=km]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

方程（2）的頻率響應函數為：

[H（iω）=-1（iω）2+ω20（1+iη）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

由隨機振動結構中的定義，可以得到頻率響應函數[H（iω）]的零階譜矩[I0]和二階譜矩[I2]表達式分別為：

[I0=-∞+∞ω0H（ω）2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[I2=-∞+∞ω2H（ω）2dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式（5）、式（6）中，[·]表示求模.

將方程（4）代入方程（5）可求得：

[I0=-∞+∞ω0H（ω）2dω=π2ω30η1+1+η21+η2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

同理，將方程（4）代入方程（6）可求得：

[I2=-∞+∞ω2H（ω）2dω=π2ω0η1+η2+1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

2? ? 復阻尼耗能結構的等效系統

2.1? ?等效系統的譜矩分析

假設結構系統（2）的等效系統為：

[x+2ξeωex+ω2ex=-xg]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中，[ωe、ξe]分別為結構系統待定的等效頻率和等效阻尼比（式（9）通常的阻尼結構都可以采用該類等效）.

方程（9）的等效系統的位移頻率響應函數[Hxe（iω）]為：

[Hxe（iω）=-1ω2e+2ξeωe（iω）+（iω）2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

由隨機振動譜矩的耗能結構的位移方程，可以求得等效系統的頻率響應函數[Hxe（iω）]的零階譜矩[I0e]和二階譜矩[I2e]解析式分別為：

[I0e=-∞∞ω0Hxe（iω）2dω=π2ξeω3e]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

[I2e=-∞∞ω2Hxe（iω）2dω=π2ξeωe]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

2.2? ?基于譜矩的等效頻率和等效阻尼比

根據文獻[22]，采用譜矩相等的等效準則來求復阻尼的等效頻率和等效阻尼，有：

[I0e=I0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（13）

[I2e=I2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

在基于譜矩相等的等效準則下，由式（7）、式（8）以及式（11）、式（12）的關系，可求出復阻尼結構的等效頻率和阻尼分別得：

[ω2e=I2eI0e=I2I0=ω201+η2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

[ωe=ω0（1+η2）14]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? &nbsp; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

[2ξeωe=πI2e=πI2=2ω0η（1+η2+1）12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[ξe=2η2（1+η2+1）12?（1+η2）14]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

3? ? 近似等效系統的精度分析

將用兩種近似方法所求得的頻率響應函數近似解，即模態應變能法求得的與式（10）和原始方程求得的精確解式（4）進行比較，通過對比分析可得到兩種近似方法的計算精度.

3.1? ?隨機響應方差對比分析

對于單自由度復阻尼減震結構的原始方程，在譜密度[Sxg（ω）=S0]的作用下，其位移平穩響應方差為：

[σ2=-∞+∞H（ω）2Sxg（ω）dω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

由已經求得的頻率響應函數[H（ω）]，可求得原始方程精確解：

[σ2x=πS02ηω301+1+η21+η212]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

同樣由已經求得等效方程的頻率響應函數，求得等效方程的解為：

[σ2xe=πS0ηω3e]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

由模態應變能法求得的位移平穩響應方差的近似解為：

[σ2x1=πS0ηω31]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

3.2&nbsp; ?算例分析

對于在工程實際中應用的阻尼耗能結構，實際中絕大多數單自由度基礎固定結構自振頻率范圍為[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s].

取下面典型的實際工程參數進行算例分析.

1）自振頻率[ω0=10 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應函數曲線分別由圖1—圖4表示.

2）自振頻率[ω0=20 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應函數曲線分別由圖5—圖8表示.

3）自振頻率[ω0=30 rad/s]，耗損因子[η]（[0<η<1]）分別取0.2、0.4、0.6、0.8，頻率響應函數曲線分別由圖9—圖12表示.

4）圖13—圖15是當[ω0=10、? 20、? 30 rad/s]，標準差的相對誤差曲線圖.

本文方法的標注差的相對誤差=[σ2xe-σ2xσ2x]，模態應變能法的標注差的相對誤差=[σ2x1-σ2xσ2x].

5）由文獻[23]可知，單自由度復阻尼用多尺度法求得的標準差為：

[σxa=πS0ηω20ωa]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

式中，

[ωa=22ω0（1+1+2η2）12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（24）

本文方法的標注差的相對誤差=[σ2xe-σ2xσ2x]，多尺度法的標注差的相對誤差=[σ2xa-σ2xσ2x].

結構圖16—圖18是當[ω0=10、20、30 rad/s]，標準差的相對誤差曲線圖.

對于大部分在實際工程中，[ω0]從10 ～30 rad/s為大部分單自由度結構的自振頻率范圍，以上算例中基本涵蓋了此頻率范圍.

1）圖1—圖4表明，相對比于用經典的模態應變能法求得的結果，本文用基于譜矩相等準則求得的結果精度更好，且用本文方法求得的等效阻尼與原始方程求得的結果十分接近.

2）對比圖1—圖12，有：

[①]當耗損因子[η]（[0<η<1]）一定的時候，隨著結構自振頻率的增大，本文方法較經典的模態應變能法提高的更明顯.

[②]當結構自振頻率[ω0]一定的時候，隨著結構阻尼耗損因子[η]（[0<η<1]）的增大，本文方法較經典的模態應變能法有顯著提高，且結構阻尼耗損因子[η]（[0<η<1]）越大，提高越明顯.

[③]當處于曲線下降階段時，已超出我國抗震規范對于參數的要求，因此，在規定范圍內本文方法是較優的.

3）圖4、圖8、圖12表明，當結構耗損因子比較大的時候，在規定的范圍內本文方法仍優于模態應變能法，說明本文方法對于較大阻尼比的情況仍然適用.

4）圖13—圖15表明，本文方法對在實際中的單自由度耗能結構[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s]，較經典的模態應變能法有很大提高.

5）圖16—圖18表明，本文方法和多尺度法在實際中的單自由度耗能結構[10 rad/s≤ω0≤30 rad/s].

[①]當耗損因子[η]（[0<η<1]）一定的時候，隨著結構自振頻率的增大，本文方法比多尺度法精度更好.

[②]由文獻[23]知，用多尺度法求得復阻尼結構的等效阻尼精度比經典的模態應變能法已經有很大提高，現對比分析可得，運用本文方法的精度比多尺度法更高.

4? ? 結論

為建立復阻尼耗能減震結構基于反應譜的抗震設計方法，對單自由度復阻尼耗能結構及其等效阻尼和等效頻率以及近似解析解進行研究分析，結論如下：

1）單自由度復阻尼耗能結構采用本文方法，求得其等效頻率和等效阻尼，解法相對方便，過程也相對簡明，因此用本文方法求解，也為其他阻尼耗能結構提供了一種可行的研究分析方法.

2）在采用本文方法下，在抗震設防要求的參數范圍內，本文所用的方法優于模態應變能法.通過與多尺度法的求解比較，本文方法所得結果精度比之更高.

3）經過分析可得，絕大部分阻尼相對誤差在4%內，對于大阻尼的相對誤差也在5%左右，因此大部分實際工程中采用本文方法計算結果都是較好的.

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Equivalent damping of single-degree-of-freedom complex damping structures based on spectral moment

LI Tun， XIE Haiwen， LI Chuangdi*， GE Xinguang

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： The complex damping model agrees well with the experimental results， but the structural? ?dynamic analysis is more complicated. In this paper， the single-degree-of-freedom complex damping? energy dissipation structure is based on the spectral moment equality criterion， that is， the zero-order and second-order spectral moments of the complex damping original system and the equivalent system are equal， and the equivalent frequency and the equivalent damping of the single-degree-of-freedom complex damping energy-consuming structure is obtained. The calculation results of the equivalent? ?system are compared with the exact solutions calculated by the original system and the results? ? ? ? ? ? calculated by the classical modal strain energy method， the equivalent system has high precision.

Key words： complex damped structure; spectral moment; equivalent frequency; equivalent damping; single degree of freedom

（責任編輯：黎? ?婭）