柯西中值定理的證明及應(yīng)用

吉青艷

緒論

柯西中值定理是微分學(xué)中重要基本定理之一，是連接導(dǎo)數(shù)與連續(xù)函數(shù)的橋梁，是構(gòu)成微分學(xué)的一個重要內(nèi)容，用途也十分廣泛，經(jīng)常作為考試的重點內(nèi)容。因此，研究柯西中值定理的證明以及應(yīng)用是非常有必要的。

在國外，羅爾由費馬引理推導(dǎo)出來羅爾中值定理，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日又根據(jù)羅爾中值定理構(gòu)造函數(shù)證明出了拉格朗日定理。最后柯西根據(jù)拉格朗日插值定理證明得出柯西中值定理，我們可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分學(xué)重要定理。這些定理都是有關(guān)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)與它們導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用它們我們可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性以及函數(shù)凹凸性及零點等問題。

在國內(nèi)，近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就有很多篇。例如趙香蘭2004年在《大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》上發(fā)表《巧用微分中值定理》，周本虎2006年在《大學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表《ξ-η等式的證明方法》，荊天2008年在《科學(xué)信息》上發(fā)表《柯西中值定理及其應(yīng)用》，王樹勛和葉正麟2008年在《高等數(shù)學(xué)研究》上發(fā)表《柯西中值定理的幾何解釋》，耿信社2011年在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》上發(fā)表《柯西中值定理的應(yīng)用》和《柯西中值定理的幾種證明》等等。

本文通過證明柯西中值定理，試著去研究一個數(shù)學(xué)問題，并且研究其應(yīng)用，有助于我們更好的掌握柯西中值定理的性質(zhì)，并用它去解決一些數(shù)學(xué)問題和推導(dǎo)一些定理。

1.柯西中值定理及其起源與發(fā)展

1637年，法國著名數(shù)學(xué)家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理。1691年，法國數(shù)學(xué)家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理，1797年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。而柯西中值定理以拉格朗日定理為理論依據(jù)得已證明，這些定理組成整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ);近年來國內(nèi)外學(xué)者嘗試著用多種方法證明柯西中值定理，并且對其應(yīng)用加以探究。

柯西中值定理：（1）f（x）及g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）f（x）及g（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);（3），;那么在（a，b）內(nèi)至少有一點ζ，使得：.去掉條件，柯西中值定理可以推廣到一般形式，令f（x）及g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點使得.

柯西中值定理的幾何意義：將值對應(yīng)到縱坐標(biāo)軸，將的值對應(yīng)到橫坐標(biāo)軸上，則對任意的值都可以在此坐標(biāo)軸上表示出來，而與是連續(xù)函數(shù)，若與不同時為零，那么，則坐標(biāo)軸上的點（，）可連接成一條光滑連續(xù)曲線。連接該曲線兩端點的向量為，而表示該曲線上某點處的切向量，那么該定理可以理解為：光滑曲線上過兩端點的向量平行于曲線上某點處的切向量。不難看出其幾何意義與拉格朗日中值定理的幾何意義極為相像。

2.柯西中值定理的證明

利用區(qū)間套法證明柯西中值定理，在證明此定理前，我們先介紹幾個引理：

引理1 設(shè)函數(shù)在上有定義，且在處可導(dǎo)，又為一閉區(qū)間套，且，則有.

引理2 在上連續(xù)，且是單射，則存在，且使.

證明柯西中值定理：反復(fù)利用引理2，可得閉區(qū)間套，滿足且.由閉區(qū)間套定理存在，使，再由引理1有：.

3.柯西中值定理的應(yīng)用

積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點，使.

積分第一中值定理推廣：若都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得：.

結(jié)論

通過對柯西中值定理證明及應(yīng)用的探討，我們發(fā)現(xiàn)除了教材華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》上用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理外，還有多種方法可以證明柯西中值定理。通過對其應(yīng)用探討，我們發(fā)現(xiàn)它在解決數(shù)學(xué)問題上用途很廣泛，并且可以推導(dǎo)一些重要定理。以上對柯西中值定理的研究都是基于實函數(shù)上的，以后還可以研究它在復(fù)函數(shù)上的性質(zhì)以及它在復(fù)函數(shù)上有哪些應(yīng)用。

參考文獻：

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（作者信息：恩施州清江外國語學(xué)校）