柯西中值定理的證明及應用

吉青艷

緒論

柯西中值定理是微分學中重要基本定理之一，是連接導數與連續函數的橋梁，是構成微分學的一個重要內容，用途也十分廣泛，經常作為考試的重點內容。因此，研究柯西中值定理的證明以及應用是非常有必要的。

在國外，羅爾由費馬引理推導出來羅爾中值定理，法國數學家拉格朗日又根據羅爾中值定理構造函數證明出了拉格朗日定理。最后柯西根據拉格朗日插值定理證明得出柯西中值定理，我們可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分學重要定理。這些定理都是有關連續可導函數與它們導數之間的關系，利用它們我們可以研究函數的連續性、單調性以及函數凹凸性及零點等問題。

在國內，近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內發表的文章就有很多篇。例如趙香蘭2004年在《大同職業技術學院學報》上發表《巧用微分中值定理》，周本虎2006年在《大學數學》上發表《ξ-η等式的證明方法》，荊天2008年在《科學信息》上發表《柯西中值定理及其應用》，王樹勛和葉正麟2008年在《高等數學研究》上發表《柯西中值定理的幾何解釋》，耿信社2011年在《數學學習與研究》上發表《柯西中值定理的應用》和《柯西中值定理的幾種證明》等等。

本文通過證明柯西中值定理，試著去研究一個數學問題，并且研究其應用，有助于我們更好的掌握柯西中值定理的性質，并用它去解決一些數學問題和推導一些定理。

1.柯西中值定理及其起源與發展

1637年，法國著名數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理。1691年，法國數學家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理，1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。而柯西中值定理以拉格朗日定理為理論依據得已證明，這些定理組成整個微分學的理論基礎;近年來國內外學者嘗試著用多種方法證明柯西中值定理，并且對其應用加以探究。

柯西中值定理：（1）f（x）及g（x）在閉區間[a，b]上連續;（2）f（x）及g（x）在開區間（a，b）內可導;（3），;那么在（a，b）內至少有一點ζ，使得：.去掉條件，柯西中值定理可以推廣到一般形式，令f（x）及g（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則至少存在一點使得.

柯西中值定理的幾何意義：將值對應到縱坐標軸，將的值對應到橫坐標軸上，則對任意的值都可以在此坐標軸上表示出來，而與是連續函數，若與不同時為零，那么，則坐標軸上的點（，）可連接成一條光滑連續曲線。連接該曲線兩端點的向量為，而表示該曲線上某點處的切向量，那么該定理可以理解為：光滑曲線上過兩端點的向量平行于曲線上某點處的切向量。不難看出其幾何意義與拉格朗日中值定理的幾何意義極為相像。

2.柯西中值定理的證明

利用區間套法證明柯西中值定理，在證明此定理前，我們先介紹幾個引理：

引理1 設函數在上有定義，且在處可導，又為一閉區間套，且，則有.

引理2 在上連續，且是單射，則存在，且使.

證明柯西中值定理：反復利用引理2，可得閉區間套，滿足且.由閉區間套定理存在，使，再由引理1有：.

3.柯西中值定理的應用

積分第一中值定理：若在上連續，則至少存在一點，使.

積分第一中值定理推廣：若都在上連續，且在上不變號，則至少存在一點，使得：.

結論

通過對柯西中值定理證明及應用的探討，我們發現除了教材華東師范大學《數學分析》上用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理外，還有多種方法可以證明柯西中值定理。通過對其應用探討，我們發現它在解決數學問題上用途很廣泛，并且可以推導一些重要定理。以上對柯西中值定理的研究都是基于實函數上的，以后還可以研究它在復函數上的性質以及它在復函數上有哪些應用。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析上冊（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001年，125～128

[2]郭森明，謝雪軍.對柯西中值定理的若干認識[J]，宜春學院學報，2006年，28卷（6期）：38～45

[3]黃德麗.用五種方法證明柯西中值定理[J]，湖州師范學院報，2003年，25卷：27～29

[4]張躍平，葛健芽，沈利紅.柯西中值定理的證明及應用[J]，金華職業技術學院報，2006年，6卷（3期）：58～60

[5]荊天.柯西中值定理及其應用[J]，高校理科研究91～92

（作者信息：恩施州清江外國語學校）