吉青艷
緒論
柯西中值定理是微分學(xué)中重要基本定理之一,是連接導(dǎo)數(shù)與連續(xù)函數(shù)的橋梁,是構(gòu)成微分學(xué)的一個重要內(nèi)容,用途也十分廣泛,經(jīng)常作為考試的重點內(nèi)容。因此,研究柯西中值定理的證明以及應(yīng)用是非常有必要的。
在國外,羅爾由費馬引理推導(dǎo)出來羅爾中值定理,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日又根據(jù)羅爾中值定理構(gòu)造函數(shù)證明出了拉格朗日定理。最后柯西根據(jù)拉格朗日插值定理證明得出柯西中值定理,我們可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。羅爾定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分學(xué)重要定理。這些定理都是有關(guān)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)與它們導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,利用它們我們可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性以及函數(shù)凹凸性及零點等問題。
在國內(nèi),近十年來,我國對中值定理的新證明進行了研究,僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就有很多篇。例如趙香蘭2004年在《大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》上發(fā)表《巧用微分中值定理》,周本虎2006年在《大學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表《ξ-η等式的證明方法》,荊天2008年在《科學(xué)信息》上發(fā)表《柯西中值定理及其應(yīng)用》,王樹勛和葉正麟2008年在《高等數(shù)學(xué)研究》上發(fā)表《柯西中值定理的幾何解釋》,耿信社2011年在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》上發(fā)表《柯西中值定理的應(yīng)用》和《柯西中值定理的幾種證明》等等。
本文通過證明柯西中值定理,試著去研究一個數(shù)學(xué)問題,并且研究其應(yīng)用,有助于我們更好的掌握柯西中值定理的性質(zhì),并用它去解決一些數(shù)學(xué)問題和推導(dǎo)一些定理。
1.柯西中值定理及其起源與發(fā)展
1637年,法國著名數(shù)學(xué)家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出費馬定理。1691年,法國數(shù)學(xué)家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項式形式的羅爾定理,1797年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明。而柯西中值定理以拉格朗日定理為理論依據(jù)得已證明,這些定理組成整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ);近年來國內(nèi)外學(xué)者嘗試著用多種方法證明柯西中值定理,并且對其應(yīng)用加以探究。
柯西中值定理:(1)f(x)及g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)f(x)及g(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3),;那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ζ,使得:.去掉條件,柯西中值定理可以推廣到一般形式,令f(x)及g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點使得.
柯西中值定理的幾何意義:將值對應(yīng)到縱坐標(biāo)軸,將的值對應(yīng)到橫坐標(biāo)軸上,則對任意的值都可以在此坐標(biāo)軸上表示出來,而與是連續(xù)函數(shù),若與不同時為零,那么,則坐標(biāo)軸上的點(,)可連接成一條光滑連續(xù)曲線。連接該曲線兩端點的向量為,而表示該曲線上某點處的切向量,那么該定理可以理解為:光滑曲線上過兩端點的向量平行于曲線上某點處的切向量。不難看出其幾何意義與拉格朗日中值定理的幾何意義極為相像。
2.柯西中值定理的證明
利用區(qū)間套法證明柯西中值定理,在證明此定理前,我們先介紹幾個引理:
引理1 設(shè)函數(shù)在上有定義,且在處可導(dǎo),又為一閉區(qū)間套,且,則有.
引理2 在上連續(xù),且是單射,則存在,且使.
證明柯西中值定理:反復(fù)利用引理2,可得閉區(qū)間套,滿足且.由閉區(qū)間套定理存在,使,再由引理1有:.
3.柯西中值定理的應(yīng)用
積分第一中值定理:若在上連續(xù),則至少存在一點,使.
積分第一中值定理推廣:若都在上連續(xù),且在上不變號,則至少存在一點,使得:.
結(jié)論
通過對柯西中值定理證明及應(yīng)用的探討,我們發(fā)現(xiàn)除了教材華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》上用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理外,還有多種方法可以證明柯西中值定理。通過對其應(yīng)用探討,我們發(fā)現(xiàn)它在解決數(shù)學(xué)問題上用途很廣泛,并且可以推導(dǎo)一些重要定理。以上對柯西中值定理的研究都是基于實函數(shù)上的,以后還可以研究它在復(fù)函數(shù)上的性質(zhì)以及它在復(fù)函數(shù)上有哪些應(yīng)用。
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(作者信息:恩施州清江外國語學(xué)校)