概率論在生活中的應用

吳長國

概率論與我們的生活息息相關。比如：太陽每天都會東升西落，這件事發生的概率就是100%或者說是1，因為它肯定會發生；而太陽西升東落的概率就是0，因為它肯定不會發生。但生活中的很多現象是既有可能發生，也有可能不發生的，比如某天會不會下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于 0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運氣”來解釋的事件，都可用概率模型進行定量分析。不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。走在街頭，來來往往的車輛讓人聯想到概率；生產、生活更是離不開概率。在令人心動的彩票搖獎中，概率也同樣指導著我們的實踐。繼股票之后，彩票也成了城鄉居民經濟生活中的一個熱點。然而彩票中獎的概率是很低的。有笑話說全世界的數學家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高于中大獎的概率。隨著科學的發展，數學在生活中的應用越來越廣，生活的數學更是無處不在。而概率作為數學的一個重要部分，同樣也在發揮著越來越廣泛的用處。 抽樣調查，評估，彩票，保險，甚至在日常生活中購買蔬菜水果之類的時候也經常會遇到要計算概率的時候，下面就通過幾個例子具體看看在這些方面中概率的應用。

在水果批發市場上打算買幾箱蘋果，他詢問賣主所售蘋果的質量如何，賣主說一箱里（假設為100個）頂多有四、五個壞的。李老師隨后挑了一箱，打開后隨機抽取了10個蘋果，心想這10個中有不多于2個壞的就買，可他發現10個蘋果中有3個是壞的。于是李老師對賣主說，你的一箱蘋果里不止有5個壞的。賣主反駁說，我的話并沒有錯，也許這一箱蘋果中就這3個壞的，讓你碰巧看見了。李老師的指責有道理嗎？解：假設一箱里有100個蘋果，其中有5個壞的。我們知道所抽取的10個中壞蘋果數等于3的概率為：10C53C100??35P（X=3）=≈0.00625 10 C100同理可以得到：P（X=4）≈0.00038P（X=5）≈0.000003根據古典概率的定義，抽取10個中壞蘋果數大于2的概率 P（X>2）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）≈0.006633。這表明，一次抽取10個，發現多于2個壞的概率很小，幾乎是不可能的，現在居然發生了。說明：本例反映了“先嘗后買”中的數學道理，即抽樣調查的方法。先嘗后買決定買不買比不嘗就買的風險要小，但風險依然存在。

同樣的，概率所產生的一些看似不可思議的事實往往能給人們以啟發。例如，生日悖論。生日悖論是指，如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標準小學班級（30人）中，存在兩人生日相同的可能性更高。對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論并不是一種悖論，從這個數學事實與一般直覺相抵觸的意義上，它才稱得上是一個悖論。大多數人會認為，23人中有2人生日相同的概率應該遠遠小于50%。計算與此相關的概率被稱為生日問題，在這個問題之后的數學理論已被用于設計著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。在《著名的生日悖論》中說道：23個人里有兩個生日相同的人的幾率有多大呢？居然有50% 我不能理解，想了半天，都沒有一個結果。怪就怪早已把高中的概率知識忘得一干二凈了，連基本的概率公式都看不懂了。這樣描述：如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生 日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標準小學班級（30人）中，存在兩人生日相同的可能性更高。對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。幾乎把所有的搜索引擎都搜了個遍，終于有點理解了。不計特殊的年月，如閏二月。先計算房間里所有人的生日都不相同的概率，那么：第一個人的生日是365選365第二個人的生日是365選364第三個人的生日是 365選363……第n個人的生日是365選365-（n-1）所以所有人生日都不相同的概率是：（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）那么，n個人中有至少兩個人生日相同的概率就是：1-（365/365）×（364/365）×（363/365）×（362/365）×……×（365-n+1/365）所以當n=23的時候，概率為0.507當n=100的時候，概率為0.9999996〔5〕真是不算不知道，一算嚇一跳。

這讓我想起了必修（三）中的一個很有意思的數學題：非洲有個國王下了一道命令，國內所有的臣民如果生了個兒子，那就不許再生了；如果生了個女兒，那就可以 接著生，一直生到兒子為止。題目問我們，如果照這樣生下去，這個王國的男女 比例會呈現一個什么樣的趨勢。 我當時想啊，每對夫妻總只能生一個兒子，卻可能生好多女兒，這樣的生育 政策肯定會導致性別比例嚴重失調。可是后來一算啊，答案居然還是正常的男女 性別比例。網上就有人提出用這樣的方式調節人口老齡化的問題，感覺很不錯哦。那個人是這樣考慮的：放開二胎不如讓公民可以自由選擇生育抑制：方案：1.父母可以自愿選擇性別生育意愿（生男或者生女）2.一但生育意愿出現滿足則停止生育，反之則可以繼續生。 比如一對夫婦懷孕前先登記自己想要男孩還是女孩，比如想要男孩，但是生了女孩就以繼續生，直到生出男孩或者不想生了為止。想要女孩也是如此處理。理解生日悖論的關鍵在于領會相同生日的搭配可以是相當多的。如在前面所提到的例子，23個人可以產生23×22/2=253種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產生一對成功的配對 也并不是那樣的不可思議。換一個角度，如果你進入了一個有著22個人的房間，房間里的人中會和你有 相同生日的概率便不是50：50了，而是變得非常低。原因是這時候只能產生22 種不同的搭配。生日問題實際上是在問任何23個人中會有兩人生日相同的概率是多少。

下面說說概率的實際意義生活中有些事件發生的可能性很小，我們稱之為小概率事件，一般認為概率 值小于0.05的事件為小概率事件。對小概率事件，人們往往不太重視。關于小概 率事件，有兩個結論可用于指導我們的生活。第一個稱為實際推斷原理，即小概率事件在一次試驗中實際上是幾乎不發生的。如果出現概率很小的事件在只進行一次試驗時竟然發生了，那我們有理由懷疑假設前提的正確性。例如學校剛剛舉行的高中英語競賽考試是全校檢驗學生英語理解應用水平的一種選拔性考試，具有很高難度，包括聽力、語法結構、閱讀理解、填空、寫作等。除寫作15分外，其余85道題是 單項選擇題，每道題有A、B、C、D四個選項，這種情況使個別學生產生碰運氣和僥幸心理，那么靠運氣能夠取得好名次嗎？答案是否定的。假設不考慮寫作15分，及格按60分算，則85道題必須答對51題以上，可以看成85重貝努利試驗。概率非常小，相當于1000億個靠運氣的考生中僅有0.874人能通過。所以靠運氣 進入前6名是不可能的。

因此，我們在生活和工作中，無論做什么事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性的分析、對待。通過這些在生活中實際存在且隨處可見的事情，可見概率統計在我們的生活中幾乎無處不在，學好概率尤其是能夠將學習的概率統計應用與實踐中對我們確實是較困難而又受益非淺的事啊。