鴿巢問題

傅勇

鴿巢問題

教材第68、第69頁。

1. 在了解簡單的“鴿巢問題”的基礎上，使學生會用此原理解決簡單的實際問題。

2. 提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。

3. 通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發學生的學習興趣，使學生感受數學的魅力。

重點：引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。

難點：找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。

鉛筆、筆筒、書等。

師：任意的13位同學中，至少有幾位同學在同一個月過生日？任意的367位同學中，至少有幾位同學在同一天過生日？試一試。

師：想知道答案嗎？通過今天的學習，你就能解決這個問題了。下面我們就來研究這類問題，我們先從簡單的情況入手研究。

【設計意圖：緊緊扣住學生的好奇心，從學生喜歡的生日問題開始，激活認知熱情。使學生積極投入到對問題的研究中。同時，滲透研究問題的方法和建模的數學思想】

1. 講授例1。

（1）認識“抽屜原理”。（課件出示例題）

把4支鉛筆放進3個筆筒中，那么總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆。

學生讀一讀上面的例題，想一想并說一說這個例題中說了一件怎樣的事。

教師指出：上面這個問題，同學們不難想出其中的道理，但要完全清楚地說明白，就需給出證明。

（2）學生分小組活動進行證明。

活動要求：

①學生先獨立思考。

②把自己的想法和小組內的同學交流。

③如果需要動手操作，要分工并全面考慮問題。（誰分鉛筆、誰當筆筒即“抽屜”、誰記錄等）

④在全班交流匯報。

（3）匯報。

師：哪個小組愿意說說你們是怎樣證明的？

①列舉法證明。

學生證明后，教師提問：把4支鉛筆放進3個筆筒里，共有幾種不同的放法？

（共有4種不同的放法。在這里只考慮存在性問題，即把4支鉛筆不管放進哪個筆筒，都視為同一種情況）

根據以上4種不同的放法，你能得出什么結論？（總有一個至少放進2支鉛筆）

②數的分解法證明。

可以把4分解成三個數，共有四種情況：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結果的三個數中，至少有一個數是不小于2的。

③反證法（或假設法）證明。

讓學生試著說一說，教師適時指點：

假設先在每個筆筒里放1支鉛筆。那么，3個筆筒里就放了3支鉛筆。還剩下1支鉛筆，放進任意一個筆筒里，那么這個筆筒里就有2支鉛筆。

（4）揭示規律。

請同學們繼續思考：

①把5支鉛筆放進4個筆筒中，那么總有一個筆筒里至少放進幾支鉛筆，為什么？

②如果把6支鉛筆放進5個筆筒中，結果是否一樣呢？把7支鉛筆放進6個筆筒中呢？把10支鉛筆放進9個筆筒中呢？把100支鉛筆放進99個筆筒中呢？

學生回答的同時教師板書：

數量（支） 筆筒數（個） ?結果

5 總有一個筆筒里

提問：觀察板書，你有什么發現？

③小組討論，引導學生得出一般性結論。

（只要放的鉛筆數比筆筒的數量多1，總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆）

追問：如果要放的鉛筆數比筆筒的數量多2，多3，多4呢？

學生根據具體情況思考并解決此類問題。

④教師小結。

上面我們所證明的數學原理就是最簡單的“抽屜原理”，可以概括為：把m個物體任意放到m-1個抽屜里，那么總有一個抽屜中至少放進了2個物體。

2.教學例2。

師：把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。為什么？自己想一想，再跟小組的同學交流。

學生獨立思考后，進行小組交流：教師巡視了解情況。

組織全班交流，學生可能會說：

我們可以動手操作，選用列舉的方法：

通過操作，我們把7本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放進3本書。

·我們可以用數的分解法：把7分解成三個數，有（7，0，0），（6，1，0），（5，1，1），（4，1，2），（3，1，3），（3，2，2）這樣六種情況。在任何一種情況中，總有一個數不小于3。

師：同學們，通過上面兩種方法，我們知道了把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。但隨著書的本書增多，數據變大，如果有8本書會怎樣呢？10本呢？甚至更多呢？用列舉法、數的分解法會怎樣？（繁瑣）我們能不能找到一種適用各種數據的一般方法呢？請同學們自己想一想。

學生進行獨立思考。

師：假設把書盡量的“平均分”給各個抽屜，看每個抽屜能分到多少本書，你們能用什么算式表示這一平均分的過程呢？

生：7÷3=2……1

師：有余數的除法算式說明了什么問題？

生：把7本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放2本書，還剩1本：把剩下的1本不管放到哪個抽屜，總有一個抽屜至少放3本書。

師：如果有8本書會怎樣呢？

生：8÷3=2……2，可以知道把8本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放2本書，還剩2本：把剩下的2本中的1本不管放到哪個抽屜，總有一個抽屜至少放3本書。

師：10本書呢？

生：10÷3=3……1，可知把10本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放3本書，還剩1本：把剩下的1本不管放到哪個抽屜，總有一個抽屜至少放4本書。

師：你發現了什么？

師生共同小結：要把a個物體放進n個抽屜，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一個抽屜至少放（b+1）個物體。

【設計意圖：在滲透研究問題、探索規律時，先從簡單的情況開始研究。證明過程中，展示了不同學生的證明方法和思維水平，使學生既互相學習、觸類旁通，又建立“建模”思想，突出了學習方法】

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生：物體數除以抽屜數，那么總會有一個抽屜里放進比商多1的物體個數。

師：你能在生活中找出這樣的例子嗎？

學生舉例說明。

師：之所以把這個規律稱之為“原理”，是因為在我們的生活中存在著許多能用這個原理解決的問題，研究出這個規律是非常有價值的。同學們繼續努力吧！

【設計意圖：研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去。在教學的最后，請學生總結這節課學會的規律，再讓學生舉一些能用“鴿巢問題”解釋的生活現象，以達到鞏固應用的目的】