對海森堡不確定原理的證明與詮釋

王永熙

摘 要：不確定性原理（uncertaintyrelation）是1927年由維爾納·海森堡（WernerKarlHeisenberg）博士所提出的并因他而命名的。如今這一原理是量子力學中最為基本和起始的理論，在粒子的研究中具有普遍的意義。它描述稱對微觀粒子的觀測無法同時精確獲得其位置和動量（即速度）。針對此原理的結論，本文將簡單引入量子力學的基本理念和哥本哈根詮釋的觀點，同時與之結合，利用簡化的高斯型波函數給出對不確定性原理的相關數學證明及其對應物理意義的闡釋。

關鍵詞：不確定性原理;動量;位置;波函數;表象;量子論

式中，指在某一時刻，對一已知微觀粒子位置坐標的觀測值與該粒子本身客觀絕對的位置坐標的誤差，指與在觀測粒子位置的同一時刻，對粒子的動量（即速度）進行觀測時，觀測值與真實值的誤差。二者的觀測同時發生，因此二者的觀測值對于觀測者而言是同時得到的，但是二者的誤差乘積不為零，最精細情況下也是大于一個常數的（）。這實際上說明，在同一時刻下對于微觀粒子物理狀態的觀測是無法同時精確得出的，二者的誤差必不為零。也因此，微觀粒子本身的性質無法完全給出，粒子處于一種不確定的狀態之下——這即為海森堡曾提出的不確定性原理。

這一原理在量子力學中曾一直在發展，海森堡本人首次提出時僅為一不包含準確數學計算的概念，在此之后，他才寫下這一不等式用以闡明原理。這一結果的反直覺，極大程度上沖擊了當時人的哲學和物理理念，也絕對劃分了宏觀物體的物理與解決微觀問題的量子物理的界限。

3.對不確定性原理和量子論的思考與前景

自上世紀初普朗克首次提出量子并正確提出了黑體輻射之后，量子物理展開了快速發展，其理念之新奇曾一直難以讓人接受，但直到如今，量子力學早已成為一門最為成功和成熟的物理學科之一了。量子物理的建立，同時也帶動了如量子電動力學、凝聚態物理等等學科的興起和快速發展，而作為量子論最為基礎且本質的不確定性原理，也在不斷更新著。

起初，海森堡等人曾認為這種無法同時觀測到同時刻物理狀態的不確定性在于觀測的手段，因為即便是最精細、能夠對被觀測物造成影響最小的方式，也終是會對粒子有一定影響，例如，一粒光子在打到粒子上的時候，因光子本身具有的動量，也會對粒子造成一定影響，導致粒子真實的位置、或者動量受到影響，而使觀測值有一定的不確定性，這一誤差通過理論計算得以體現。但是后來，隨著量子論的不斷發展，理論的完備使人們相信引起這種不確定性的更多的在于量子態的交纏，換言之儀器與觀測的物理影響本身并非必要條件，直接影響的原因是微觀粒子本身的量子性質。

近代，量子理論的基礎已基本完善，雖仍留下許多反直觀的問題和現象，但在數學上已經達到自洽。小澤不等式的建立也使不確定性原理也得到了更精確的描述。考慮上粒子自旋、能場的影響等等之后，小澤正直（MasanaoOzawa）提出了對海森堡不確定性原理更細致和符合實際情況的修改，并成功利用實驗超過了經典量子論中的測量極限。但本質上，二者的理論是相通的，只是隨時代發展而準確化了。

在對于量子共振的理論計算上，不確定性原理還有另外一種表達：

其中E為能量，t為時間。上式也可以不等式方式寫出，這一海森堡能量-時間不確定度關系在本質上與動量-位置關系不同，但仍以一種不確定性的形式影響實驗，也是對不確定關系的一個補充，以及對微觀物理本質的一次發現。阿爾伯特·愛因斯坦（Albert.Einstein）曾一直對哥本哈根詮釋的自洽性有著質疑，在提出光箱實驗并被玻爾（Niels.Henrik.David.Bohr）一夜解決之后，愛氏聯另外兩位科學家（B.Podolsky&N.Rosen）共同提出了EPR佯謬，這一對量子糾纏態的攻擊一方面指出了量子物理中的無法遵守狹義相對論的超距作用，另一方面則對量子物理最根本的物理詮釋造成了沖擊。但后來，這種思想實驗卻也恰巧成了對量子糾纏現象的最基本原型之一，人們的確發現并成功利用了這種現象，引發了量子計算和量子信息的可能性。當初為了說明這一佯謬而由貝爾（J.Bell）所提出貝爾不等式，后來被實驗打破極限，薛定諤（Erwin Schr?dinger）提出著名的薛定諤的貓也在之后成為了對量子態最形象的描述。這一結果看似巧妙，但仍說明有很多難以認清的問題。因此，雖然現在科技的發展、理論物理的飛躍和穩固是與眾目睹的，但人類對于量子物理所描述的微觀世界的本質的探索，如今仍然有著極大的發展空間。

參考文獻

[1]《新概念物理教程量子物理》（第二版）趙凱華，羅蔚茵著高等教育出版社

[2]《量子力學教程》胡行編機械工業出版社

[3]伽馬函數百度百科https：//baike.baidu.com/item/%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0/3540177？fromtitle=%E4%BC%BD%E9%A9%AC%E5%87%BD%E6%95%B0&fromid=11217190&fr=aladdin

[4]《統計熱力學導論》趙成大，梁春于編著吉林人民出版社