淺談全國(guó)卷解析幾何大題的備考

洪春

摘 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)。解析幾何大題對(duì)考生的能力要求非常高，重點(diǎn)考察學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，是高考數(shù)學(xué)得高分的關(guān)鍵。故研究其命題規(guī)律、解題所需的知識(shí)儲(chǔ)備和解題突破口對(duì)考生備考有重要意義。

關(guān)鍵詞：全國(guó)卷;高考數(shù)學(xué);解析幾何大題

全國(guó)卷從2007年到2018年共有21套試卷，解析幾何大題以橢圓為背景的共15次（其中2次涉及到圓），以拋物線為背景的共6次（其中2次涉及到圓）。所以，我們?cè)摪阎攸c(diǎn)放在橢圓，其次是拋物線。而研究高考題的意義在于，第一：考點(diǎn)重復(fù)，例2018年1卷的19與2015年的20題都考查“等角問(wèn)題”，而“中點(diǎn)弦的結(jié)論”考查了5次;第二：更好的把握考試范圍，高考題可以指引縮小目標(biāo)，更高效的練習(xí);第三：高考題是最好的訓(xùn)練題，以前考查的知識(shí)、方法、技巧，是我們的必會(huì)題。

一、知識(shí)準(zhǔn)備

全國(guó)卷解析幾何大題共分兩問(wèn)，第一的錯(cuò)誤會(huì)對(duì)第二問(wèn)的得分造成毀滅性的打擊，所以第一問(wèn)一定要充分準(zhǔn)備，仔細(xì)作答。第一問(wèn)大多數(shù)時(shí)候用簡(jiǎn)單的待定系數(shù)法就能搞定，但復(fù)習(xí)的時(shí)候仍要注意以下兩點(diǎn)：

1.橢圓的第一定義

見(jiàn)2016年1卷，由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就能基本鎖定點(diǎn)E的軌跡方程是橢圓（全國(guó)卷還沒(méi)有考過(guò)雙曲線的大題），由平面幾何知識(shí)可以證明EB=ED，從而AE+BE=4。另見(jiàn)2013年1卷

2.“中點(diǎn)弦的結(jié)論”（2018年3卷20題，2015年2卷20題，2013年2卷20題）：A，B為橢圓上兩點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

3.長(zhǎng)度計(jì)算公式：為任意兩點(diǎn)，則

（1）

公式（1）前半部分可以用于任意兩點(diǎn)間距離，通常用于坐標(biāo)容易計(jì)算的情況;公式（1）后半部分用于算弦長(zhǎng)，通常用于坐標(biāo)的不好計(jì)算，而選擇用韋達(dá)定理整體計(jì)算的情況。若AB為圓的弦長(zhǎng)，r為半徑，d為圓心到直線的距離，則

（2）

例【2016年1卷】橢圓弦長(zhǎng)用公式（1）計(jì)算，而圓的弦長(zhǎng)，用公式（2）計(jì)算。

二、技巧與常見(jiàn)“翻譯”準(zhǔn)備

解析幾何集中考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求很高，而積累常見(jiàn)條件的“翻譯”和運(yùn)算技巧能大大的減少運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確度。這其中最重要的技巧就是怎樣將條件“翻譯”并轉(zhuǎn)化成韋達(dá)定理。目前的21套全國(guó)卷中有15套用到了韋達(dá)定理，可以分為以下幾類(lèi)。

1.角相等

出現(xiàn)在2018年1卷，2015年1卷。

角度相等可以轉(zhuǎn)化為斜率之和為0，從而順利轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理。

2.邊相等

可見(jiàn)2010年新課標(biāo)卷，設(shè)AB中點(diǎn)，等價(jià)于，而N點(diǎn)坐標(biāo)可以用韋達(dá)定理求出。

3.平行四邊形

可見(jiàn)2015年2卷，平行四邊形的判定定理常用的有三個(gè)：對(duì)角線相互平分，一組對(duì)邊平行且相等，兩組對(duì)邊平行。由四邊形OAPB的字母順序知，我們?cè)摽紤]對(duì)角線相互平分，即AB的中點(diǎn)與OP的中點(diǎn)重合即可。AB的中點(diǎn)可以由韋達(dá)定理算出，而OP的中點(diǎn)不難強(qiáng)算。

4.面積表示

底×高=×合適的底×水平高=×合適的底×豎直高（3）

而對(duì)于對(duì)角線垂直的四邊形：對(duì)角線乘積（4）

公式（3）出現(xiàn)在2014年1卷，公式（4）出現(xiàn)在2016年1卷和2013年2卷。

三、重視邏輯推理訓(xùn)練

表面上看，近幾年解析幾何的題似乎有變簡(jiǎn)單的趨勢(shì)，比如：2018年的全國(guó)1，2，3卷中1，2卷解析幾何大題放在了19題。但看看同學(xué)們的訓(xùn)練結(jié)果，細(xì)細(xì)想來(lái)并非如此。這些題的特點(diǎn)在于少了“套路”，多了邏輯，多了推理，這樣會(huì)讓沉迷熟悉“套路”的同學(xué)難以下筆。例2018年2卷，如果記住了“套路”以AB為直徑的圓要與準(zhǔn)線相切的同學(xué)很可能會(huì)漏解AB不是直徑的情況。而如果我們回到概念的本真，抓住圓的基本量圓心和半徑，以此為邏輯的起點(diǎn)去整合推理，就不會(huì)漏解。

四、常見(jiàn)題型準(zhǔn)備

全國(guó)卷的解析幾何的大題有幾道是反常規(guī)的，但多數(shù)都可以回歸到我們常見(jiàn)的訓(xùn)練范疇。

1.定點(diǎn)定值問(wèn)題

可見(jiàn)2017年的1卷，2卷，2015年1卷，2卷，

2.范圍問(wèn)題

范圍問(wèn)題通常都是函數(shù)或不等式的問(wèn)題，函數(shù)的問(wèn)題要注意二次除以二次，二次除以一次的處理方式，若是不等式可能會(huì)用均值不等式或解高次的不等式。全國(guó)卷在2016年1，2卷，2014年1卷，2013年2卷，2011年新課標(biāo)卷考查了范圍問(wèn)題。